Плотность вещества и единицы измерения плотности. Расчёт плотности

На этом уроке вы:

• узнаете, что показывает плотность вещества;
• научитесь определять плотность вещества.

Ключевые слова: плотность вещества.

Мы знаем, что любое тело состоит из атомов или молекул. Атомы и молекулы различных веществ отличаются друг от друга своими массами и расположением в теле. Очевидно, что чем больше в данном теле молекул или атомов и чем плотнее они упакованы, тем больше масса этого тела, так как в объеме тела содержится большее количество вещества.

Всем известно, что 1 кг железа занимает гораздо меньший объем, чем 1 кг пробкового дерева. Это означает, что тела одинаковой массы, но изготовленные из различных веществ, занимают разный объем. Как же это можно объяснить?

Опыт показывает, что в различных веществах атомы располагаются на разных (хотя и очень малых) расстояниях друг от друга и в различных веществах они по-разному упакованы.

Приведем классический пример: алмаз и графит — это вещества, состоящие из набора одинаковых атомов углерода (рис. 12.1, а, б). Атомы углерода расположены в них по-разному и на различных расстояниях друг от друга. В алмазе атомы углерода упакованы более компактно или, как говорят, более плотно. Поэтому одинаковые массы алмаза и графита занимают в пространстве разные объемы (алмаз примерно в 1,6 раза меньший).

Рис. 12.1. а) расположение атомов алмаза; б) расположение атомов графита

Следовательно, если атомы вещества расположены так, что в единице объема их много и сами атомы вещества обладают большей массой, то в пространстве тело, изготовленное из этого вещества, будет занимать меньший объем.

Возьмем два разных тела из одного и того же вещества (например, из железа) (рис. 12.2) и определим их массы с помощью весов, а объемы — с помощью мензурок с водой. Из рисунка видно, что объем первого тела равен 2 мл, а объем второго — 4 мл. Взвешивание показало, что масса второго тела вдвое больше, чем первого.

Рис. 12.2

Отношение масс этих тел к собственным объемам в обоих случаях оказалось одинаковым:

$$\frac{m_1}{V_1} = \frac{m_2}{V_2}.$$

Следовательно, отношение масс веществ к собственному объему характеризует данное вещество, так как оно остается неизменным для любых произвольных масс и объемов этого вещества. Эта величина называется плотностью вещества. Обозначают плотность вещества буквой $\rho$ («ро»). Тогда:

$$\rho = \frac{m}{V}. \qquad (12.1)$$

Плотность вещества — величина, определяемая массой единичного объема этого вещества. Плотность вещества — величина скалярная.

Единицей измерения плотности в Международной системе единиц является $[\rho] = \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$. На практике часто пользуются другой единицей плотности, удобной в лабораторных условиях: $[\rho] = \dfrac{\text{г}}{\text{см}^3}$.

Массу тела легко найти, зная плотность вещества, из которого оно изготовлено, и объем тела:

$$m = \rho V. \qquad (12.2)$$

Если плотность вещества выражена в $\dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$, то ее можно перевести в $\dfrac{\text{г}}{\text{см}^3}$.

Пример. Плотность железа $7800\ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$. Выразим ее в $\dfrac{\text{г}}{\text{см}^3}$.

Для этого переведем килограммы в граммы, а кубические метры — в кубические сантиметры:

$7800$ кг $= 7\,800\,000$ г (или $7{,}8 \cdot 10^6$ г), $1$ м³ $= 1\,000\,000$ см³ (или $10^6$ см³). Тогда

$$\rho = 7800\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} = \frac{7{,}8 \cdot 10^6}{10^6}\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3} = 7{,}8\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3}.$$

Обратите внимание! Плотность одного и того же вещества в твердом, жидком и газообразном состояниях различна. Так, плотность льда равна $900\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$, воды — $1000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$, а водяного пара — $0{,}590\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

С позиции микроструктуры строения вещества его плотность определяется и компоновкой, и массами самих атомов. Например, среднее расстояние между атомами ртути $\approx 0{,}3$ нм, а в алюминии $\approx 0{,}28$ нм (табл. 1).

Таблица 1

Вещество	Расстояние между атомами	Плотность	Соотношение между плотностями
Ртуть	$r_{рт} \approx 0{,}3$ нм	$\rho_{рт} = 13{,}6\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$	$\dfrac{\rho_{рт}}{\rho_{ал}} = \dfrac{13{,}6}{2{,}8} \approx 5$
Алюминий	$r_{ал} \approx 0{,}28$ нм	$\rho_{ал} = 2{,}8\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$	$\rho_{рт} = 5\rho_{ал}$

В то же время плотность ртути примерно в 5 раз больше! $\rho_{рт} = 5\rho_{ал}$. Почему? Все дело в том, что масса атома ртути в 5 раз больше массы атома алюминия: $m_{рт} = 5m_{ал}$.

Другой пример приведен в таблице 2.

Таблица 2

Вещество	Плотность	Соотношение между плотностями	Соотношение атомных масс
Осмий	$\rho_{осм.} \approx 22{,}6\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$	$\dfrac{\rho_о}{\rho_в} = \dfrac{22{,}6}{9{,}79} = 2{,}3$	$m_о < m_в$
Висмут	$\rho_{висм.} \approx 9{,}79\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3}$	$\rho_о = 2{,}3\rho_в$

Масса атомов осмия меньше массы атомов висмута, но плотность его в 2,3 раза больше плотности висмута. $\rho_о = 2{,}3\rho_в$! Почему? Дело в том, что расстояние между атомами осмия гораздо меньше соответствующих расстояний в висмуте.

Следовательно, плотность вещества отражает его внутреннее строение (табл. 3).

Так, если мы хотим определить массу воды в ведре, объем которого равен 10 л, то сначала выразим 10 л в единицах объема системы СИ. Как известно, 1 л = 1 дм³ = 0,001 м³, тогда 10 л = 0,01 м³. Плотность воды $1000\ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$. Итак, масса воды в ведре:

$$m = 1000\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0{,}01\ \text{м}^3 = 10\ \text{кг}.$$

Таблица 3. Плотность некоторых веществ, выраженных в г/см³

Вещество	Вода	Ртуть	Железо	Олово	Серебро	Золото
Объем	1 см³	1 см³	1 см³	1 см³	1 см³	1 см³
Масса $m$	1 г	13,6 г	7,8 г	7,3 г	10,5 г	19,3 г
Плотность $\rho$, г/см³	1	13,6	7,8	7,3	10,5	19,3

Вопросы

1. Объясните, почему свинцовый и деревянный шарики одинакового объема имеют разные массы?
2. Какая величина называется плотностью тела?
3. Можно ли определить массу тела, не имея весов? Что для этого необходимо знать?
4. Как определить массу тела, зная плотность его вещества?
5. Как определить массу свинцового шарика, имея в распоряжении мензурку и воду?
6. Почему масло плавает на поверхности воды?
7. Как вы объясните то, что теплый воздух поднимается вверх?

Примеры решения задач

Задача 1. Свинцовая деталь объемом 250 см³ имеет массу 2,26 кг. Сплошная это деталь или полая? Если деталь полая, то чему равен объем полости?

Дано: $m = 2{,}26$ кг; $\rho = 11{,}3$ г/см³; $V = 250$ см³. Найти: $V_п$ — ?

Решение. Прежде чем перейти к решению задачи, желательно перевести единицы измерения величин в систему СИ. Но в нашем случае удобнее решать, не переводя единицы измерения в систему СИ, а массу выразить в граммах $m = 2260$ г. Предположим, что в теле имеется полость.

Значит, объем тела будет равен сумме объемов полости и свинца, т. е. $V = V_п + V_{св}$.

Объем свинца равен: $V_{св} = \dfrac{m}{\rho}$. Тогда $V_п = V - \dfrac{m}{\rho}$.

Теперь подставим числовые значения физических величин и произведем вычисления. Если объем полости будет равен нулю, то это будет означать, что в теле нет полости:

$$V_п = 250\ \text{см}^3 - \frac{2260\ \text{г}}{11{,}3\ \text{г/см}^3} = 250\ \text{см}^3 - 200\ \text{см}^3 = 50\ \text{см}^3.$$

Ответ: полость в теле есть, ее объем $V_п = 50$ см³.

Задача 2. Масса пробирки, полностью заполненной водой, составляет 50 г. В нее поместили кусок металла массой 12 г, в результате чего общая масса пробирки с водой и металлом составила 60,47 г. Определите кусок какого металла опустили в пробирку.

Дано: $m_1 = 50$ г; $m_0 = 12$ г; $m_2 = 60{,}47$ г; $\rho = 1$ г/см³. Найти: $\rho_0$ — ?

Решение. Прежде чем перейти к решению задачи, желательно перевести единицы измерения величин в систему СИ. В нашем же случае удобнее решать, не переводя единицы измерения в систему СИ. Чтобы определить вещество, из которого изготовлен металл, необходимо определить его плотность. Плотность металла найдем по формуле

$$\rho_0 = \frac{m_0}{V_0}. \qquad (1)$$

Масса металла нам известна, осталось найти его объем. В задаче сказано, что пробирка была полностью заполнена водой. После того как кусок металла поместили в пробирку, общая масса стала равной 60,47 г. А почему не 62 г? Ведь 50 г + 12 г = 62 г. Дело в том, что часть воды вылилась из пробирки. Масса вылившейся воды равна: $\Delta m = m_1 + m_0 - m_2$.

Кусок металла был полностью погружен в воду, поэтому вылился объем воды, равный объему этого куска. Зная массу вылившейся воды и ее плотность, найдем объем:

$$V_0 = \frac{\Delta m}{\rho} = \frac{m_1 + m_0 - m_2}{\rho}.$$

Подставив значение объема в формулу (1), вычислим плотность металла:

$$\rho_0 = \frac{m_0}{V_0} = \frac{\rho m_0}{\Delta m} = \frac{\rho m_0}{m_1 + m_0 - m_2}.$$

Теперь, подставив численные значения величин, получим:

$$\rho_0 = 1\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3} \cdot \frac{12\ \text{г}}{50\ \text{г} + 12\ \text{г} - 60{,}47\ \text{г}} = 7{,}843\ \frac{\text{г}}{\text{см}^3}.$$

Используя таблицу плотностей, находим, что это — железо.

Ответ: железо.

Задача 3. Сплав олова и свинца массой 420 г имеет плотность 9,6 г/см³. Определите массу олова и свинца в сплаве.

Дано: $m = 420$ г; $\rho_о = 7{,}3$ г/см³; $\rho_{св} = 11{,}3$ г/см³; $\rho = 9{,}6$ г/см³. Найти: $m_о$ — ? $m_{св}$ — ?

Решение. Прежде чем перейти к решению задачи, желательно перевести единицы измерения величин в систему СИ. Но в данном случае удобнее решать не в системе СИ.

$$V = V_о + V_{св} \qquad (1)$$

Мы имеем сплав олова и свинца. Его объем равен сумме объемов олова и свинца:

$$m = m_{св} + m_о. \qquad (2)$$

Согласно определению, плотность вещества $\rho = \dfrac{m}{V}$. Отсюда найдем объем тела $V = \dfrac{m}{\rho}$. Объемы олова и свинца будут соответственно равны: $V_о = \dfrac{m_о}{\rho_о}$ и $V_{св} = \dfrac{m_{св}}{\rho_{св}}$. Из формулы (2) имеем: $m_о = m - m_{св}$.

Подставим эти значения в формулу (1): $\dfrac{m}{\rho} = \dfrac{m - m_{св}}{\rho_о} + \dfrac{m_{св}}{\rho_{св}}$.

Получили уравнение с одним неизвестным $m_{св}$.

Из этого уравнения следует:

$$m_{св} = m\,\frac{\dfrac{1}{\rho_о} - \dfrac{1}{\rho}}{\dfrac{1}{\rho_о} - \dfrac{1}{\rho_{св}}} = m\,\frac{\rho_{св}(\rho - \rho_о)}{\rho\,(\rho_{св} - \rho_о)} \approx 284\ \text{г};$$ $$m_о = m - m_{св} = 420\ \text{г} - 284\ \text{г} = 136\ \text{г}.$$

Ответ: $m_{св} = 284$ г; $m_о = 136$ г.

Творческая мастерская

Анализируйте.

1. Возьмите небольшой деревянный куб. С помощью линейки измерьте длину ребра куба и вычислите его объем. Найдите плотность дерева по таблице плотностей. Определите массу выбранного куба.
2. Возьмите брусок массой 150–200 г. Измерьте высоту, длину и ширину бруска, а его массу определите с помощью весов. Вычислите объем и плотность бруска. Определите, из какого вещества он сделан.
3. Определите массу воды, молока в заполненном доверху стакане. Объем мерного стакана 200 см³.

Объясните.

1. Плотность поваренной соли в больших кусках равна 2160 кг/м³, а раздробленной в порошок — всего 800 кг/м³. Как вы думаете, почему?
2. Объясните, как определить массу свинцового шарика, имея в распоряжении мензурку и воду?

Познай себя. Определите плотность своего тела. Это можно сделать двумя способами. Сначала определите массу вашего тела с помощью весов. 1) Затем заполните ванну водой так, чтобы осталось место для погружения вашего тела в воду. Отметьте две высоты воды: до и после вашего погружения в воду. Найдите объем своего тела. 2) Определите объем вашего тела, измерив рост до плеч, ширину по плечам и толщину тела. Так можно определить приблизительный объем тела. Как вы думаете, какой способ точнее? Как изменится ответ в случае, если выдохнуть воздух из легких или, наоборот, сделать глубокий вдох?

Наблюдайте.

1. Металлическую деталь нагревают на плите. Как при этом изменяются масса, плотность, объем детали?
2. Посмотрите видео через QR-код и выясните, как можно определить плотность тела?

Решите.

1. Определите объем стального бруска массой 312 г. Ответ: 40 см³.
2. Какова масса свинцового цилиндра объемом 40 см³? Ответ: 452 г.
3. 125 л неизвестной жидкости имеет массу 100 кг. Какая это жидкость? Ответ: это может быть спирт, нефть и керосин.
4. Сосуд, заполненный ртутью, имеет массу 34 кг. Каков объем сосуда? Ответ: 2,5 л.
5. Лист кровельной стали имеет размеры 1,5 м × 0,54 м × 0,75 м. Какова его масса? Ответ: 4,74 т.
6. При оцинковке ведер их поверхность покрывают слоем цинка толщиной 100 мкм как снаружи, так и внутри. Площадь всей поверхности ведра составляет 600 см². Сколько ведер было оцинковано, если израсходовано 1278 г цинка? Ответ: 15.
7. В куске кварца содержится небольшой самородок золота. Масса куска равна 100 г, а средняя плотность 8 г/см³. Определите массу золота, содержащегося в куске кварца, если плотность кварца 2,65 г/см³. Ответ: 77,5 г.