Закон сохранения и превращения энергии в тепловых процессах

Ключевые слова: механическая энергия, внутренняя энергия, количество теплоты.

На этом уроке вы:

• ознакомитесь с уравнением теплового баланса;
• научитесь применять закон сохранения энергии в тепловых процессах при решении задач.

Это вы знаете. Закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия замкнутой системы тел (сумма кинетической и потенциальной энергии), взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и упругости, остается неизменной.

Закон сохранения энергии справедлив для всех процессов, происходящих в природе, в том числе он выполняется и в тепловых явлениях. Мы знаем (§ 3) два способа изменения внутренней энергии: теплообмен и совершение механической работы. В первом случае более горячее тело отдает тепло, более холодное его получает, во втором случае механическая энергия превращается во внутреннюю. Часть энергии и в первом, и во втором случаях рассеивается в окружающую среду. Теперь представим, что тела, участвующие в теплообмене, находятся в теплоизолированной оболочке (например, в калориметре). Тогда количество теплоты, которое отдает горячее тело, полностью получает более холодное тело. В этом суть закона сохранения энергии в тепловых процессах

$$Q_{пол} = Q_{отд}.$$

В теплоизолированной системе тел, если внутренняя энергия изменяется только в результате теплопередачи, суммарное значение количества теплоты, отданного более горячими телами, равно сумме количеств теплоты, полученных более холодными телами.

$$(Q_1 + Q_2 + Q_3 + \ldots)_{пол} = (Q_1 + Q_2 + Q_3 + \ldots)_{отд},$$

или

$$\Sigma Q_{пол} = \Sigma Q_{отд}; \qquad (9.1)$$

здесь $\Sigma$ (сигма) — знак суммы.

Выражение (9.1) называется уравнением теплового баланса.

Это вы знаете. В результате теплообмена тела приходят в состояние теплового равновесия, т. е. устанавливается одинаковая для всех этих тел температура.

Например, если смешать воду температурой 80 °C с водой температуры 20 °C, установится температура, рассчитать которую можно используя выражение (9.1), где количество полученной и отданной теплоты определяется формулой (7.1). В процессе теплопередачи горячие тела остывают, поэтому при расчете количества отданной теплоты по формуле (7.1) она получается отрицательной величиной, т. к. $t_2 < t_1$, или $\Delta t < 0$. Это указывает на то, что внутренняя энергия более горячего тела уменьшается. В уравнении (9.1) под $Q_{отд}$ понимают его модуль, т. е. численное значение. При решении задач обычно расчет отданного количества теплоты делают по формуле $Q_{отд} = cm(t_1 - t_2)$.

Вопросы

1. Назовите способы изменения внутренней энергии тел.
2. В каком направлении идет теплообмен между телами?
3. В чем суть закона сохранения энергии в процессах теплообмена?
4. Напишите уравнение теплового баланса, прокомментируйте его.

Примеры решения задач

Задача 1. В стакан с горячей водой, имеющей температуру 90 °C, опустили серебряную ложку массой 240 г. Какая температура установится в стакане, если масса воды 200 г, а начальная температура ложки равна 15 °C? Теплообменом с окружающим воздухом пренебречь.

Дано: $m_в = 200$ г ($0{,}2$ кг); $m_с = 240$ г ($0{,}24$ кг); $t_в = 90$ °C; $t_с = 15$ °C; $c_в = 4200$ Дж/(кг·°C); $c_с = 230$ Дж/(кг·°C). Найти: $t$ — ?

Решение. Воспользуемся уравнением теплового баланса. Поскольку вода имеет более высокую температуру, она отдает, а ложка получает теплоту.

Количество теплоты, отданное водой: $Q_1 = m_в c_в (t_в - t)$.

Количество теплоты, полученное ложкой: $Q_2 = m_с c_с (t - t_с)$.

Согласно уравнению теплового баланса: $Q_1 = Q_2$, или $m_в c_в (t_в - t) = m_с c_с (t - t_с)$.

$$m_в c_в t_в - m_в c_в t = m_с c_с t - m_с c_с t_с.$$

Отсюда определим искомую температуру:

$$t = \frac{m_в c_в t_в + m_с c_с t_с}{m_с c_с + m_в c_в} = \frac{0{,}2 \cdot 4200 \cdot 90 + 0{,}24 \cdot 230 \cdot 15}{0{,}24 \cdot 230 + 0{,}2 \cdot 4200}\ °\text{C} \approx 85{,}37\ °\text{C}.$$

Ответ: $t \approx 85{,}37$ °C.

Задача 2. Маме необходимо приготовить для купания малыша 10 литров теплой воды температурой 36 °C. Для этого у нее есть горячая вода при температуре 80 °C и холодная вода, температура которой равна 16 °C. Сколько холодной и сколько горячей воды нужно маме?

Дано: $V = 10$ л ($10^{-2}$ м³); $t = 36$ °C; $t_{1г.в.} = 80$ °C; $t_{1х.в.} = 16$ °C; $\rho_в = 1000$ кг/м³. Найти: $V_1$ — ? $V_2$ — ?

Решение. Для решения задачи воспользуемся уравнением теплового баланса $Q_{отд} = Q_{пол}$.

При смешивании горячей воды с холодной количество теплоты, которое отдает горячая вода: $Q_1 = cm_1 (t_{1г.в.} - t)$.

Количество теплоты, которое получает холодная вода: $Q_2 = cm_2 (t - t_{1х.в.})$.

Запишем уравнение теплового баланса: $Q_1 = Q_2$, тогда

$$cm_1 (t_{1г.в.} - t) = cm_2 (t - t_{1х.в.}). \qquad (1)$$

Массу воды выразим через ее объем и плотность:

$$m = \rho \cdot V = 1000\ \tfrac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 10^{-2}\ \text{м}^3 = 10\ \text{кг}.$$

Общая масса воды равна $m = m_1 + m_2 = 10$ кг. Из последнего выражения найдем значение $m_2$: $m_2 = m - m_1$, и подставим его в (1):

$$cm_1 (t_{1г.в.} - t) = c(m - m_1)(t - t_{1х.в.}).$$

Отсюда определим:

$$m_1 = \frac{m(t - t_{1х.в.})}{t_{1г.в.} - t_{1х.в.}} = \frac{10\ \text{кг} \cdot (36 - 16)\ °\text{C}}{(80 - 16)\ °\text{C}} = 3{,}12\ \text{кг}, \qquad m_2 = 10 - 3{,}12 = 6{,}88\ \text{кг}.$$

Ответ: 3,12 литра горячей, 6,88 литра холодной воды.

Упражнение 4

В задачах теплообменом с окружающей средой пренебречь.

1. В воду массой 1 кг, взятой при температуре 20 °C, добавили 1,5 кг горячей воды при температуре 60 °C. Определите, какая установится температура. (Ответ: 44 °C)
2. При охлаждении камня массой 5 кг на $\Delta t = 2$ °C выделяется количество теплоты $Q = 4{,}2$ кДж. Определите удельную теплоемкость камня. (Ответ: 420 Дж/(кг·°C))
3. В воду массой 20 кг и температурой 27 °C влили кипяток, в результате установилась температура 60 °C. Определите массу кипятка. (Ответ: 16,5 кг)
4. В воду массой 0,1 кг при температуре 7 °C опустили предмет массой 42 г и температурой 127 °C, после чего установилась температура 17 °C. Определите удельную теплоемкость тела. (Ответ: 909 Дж/(кг·°C))
5. В воду массой 2 кг при температуре 20 °C опустили латунный брусок массой 100 г, нагретый до температуры 80 °C, и алюминиевый брусок массой 200 г и температурой 90 °C. Какая установится температура? (Ответ: ≈ 21,76 °C)
6. На нагревание металлического куска массой 1 кг на $\Delta t_1 = 2{,}3$ °C было затрачено такое же количество теплоты, что и на нагревание 0,5 кг воды на $\Delta t_2 = 10$ °C. Определите удельную теплоемкость металла. (Ответ: $c \approx 913$ Дж/(кг·°C))
7. Какое количество сухих дров потребуется, чтобы довести до кипения 5 литров воды, взятой при температуре 20 °C? Считайте, что на нагревание воды идет половина всей затраченной тепловой энергии. (Ответ: 0,404 кг)
8. При ударе о плиту свинцового шарика, падающего с высоты 39 м, вся его механическая энергия превратилась в тепловую. На сколько градусов нагрелся шар? (Ответ: 3 °C)
9. Составьте задачу по представленным данным и решите ее. Вода: $t_1 = 24$ °C; $t_2 = 60$ °C; $c_в = 4200$ Дж/(кг·°C). Спирт: $m_с = 30$ г, $q = 27$ МДж/кг. $m_в$ — ?

Самое важное в главе

Тепловые явления.

Тепловым движением называется непрерывное хаотическое движение молекул.

Температурой называется физическая величина, характеризующая тепловое состояние тела.

Внутренней энергией тела называется сумма кинетической и потенциальной энергии всех частиц, составляющих это тело.

Величина, равная изменению внутренней энергии тела в процессе теплопередачи, называется количеством теплоты $Q$.

Изменение внутренней энергии происходит двумя способами: теплопередача и совершение работы.

Виды передачи тепловой энергии: теплопроводность, конвекция, излучение.

Удельная теплоемкость — это физическая величина, равная количеству теплоты, необходимому для нагревания 1 кг данного вещества на 1 °C:

$$c = \frac{Q}{m(t_2 - t_1)}.$$

Уравнение теплового баланса: $\Sigma Q_{пол} = \Sigma Q_{отд}$.