Графическое представление различных видов механического движения

На этом уроке вы:

• научитесь строить график зависимости координаты и скорости от времени для различных движений;
• узнаете, как определять по графику характер движения тела, скорость и координату тела.

Ключевые слова: график движения, график скорости.

Любое движение можно изобразить графически. Это дает возможность представить его более наглядно. Для этого по оси абсцисс откладываем время движения, а по оси ординат — значения координат тела в выбранном масштабе. Далее используем уравнение движения тела, движущегося равномерно и прямолинейно:

$$x = x_0 + vt.$$

Используя это уравнение, строим график зависимости координаты тела $x$ от времени его движения $t$. Полученная линия покажет нам, как меняется координата тела со временем.

Для простоты рассмотрим случай, когда тело, находившееся в момент времени $t = 0$ в точке с координатой $x_0 = 4$ м, стало двигаться в положительном направлении ординатной оси со скоростью $v = 2$ м/с. Закон движения этого тела будет выглядеть так:

$$x = 4 + 2t. \qquad (9.1)$$

Из курса математики известно, что такая зависимость представляет собой прямую линию. А для того чтобы построить прямую линию, достаточно иметь только две точки, так как через две точки можно провести только одну прямую. Подставляя в формулу (9.1) два произвольных значения времени, например 0 с и 2 с, получим два значения координаты — 4 м и 8 м (см. табл. 1).

Таблица 1

Время $t$, с	0	2
Координата точки $x$, м	4	8

Таким образом, можно утверждать, что координата точки, движущейся равномерно и прямолинейно, является линейной функцией времени, что хорошо видно на рис. 9.1.

Рис. 9.1 — график координаты; рис. 9.2 — график скорости; рис. 9.3 — путь как площадь под графиком скорости

По графику координаты тела легко описать характер его движения. Попробуйте «прочитать», как двигались тела 1, 2 и 3, графики движения которых даны на рисунке 9.4.

По графику, изображенному на рисунке 9.1, можно «прочитать», что в момент начала наблюдений тело находилось в точке с координатой $x_0 = 4$ м и двигалось в направлении, выбранном положительным.

Если по оси ординат откладывать значения скорости, а по оси абсцисс — время, то получим график скорости. В нашем случае он будет выглядеть, как на рисунке 9.2.

По графику скорости легко определить путь, пройденный телом. Для этого нужно вычислить площадь фигуры, ограниченной графиком скорости и линией, перпендикулярной оси время и проходящей через данное значение времени (рис. 9.3).

$$s = 2\ \frac{\text{м}}{\text{с}} \cdot 4\ \text{с} = 8\ \text{м}.$$

Рис. 9.4

Вопросы

1. Что означает выражение «изобразите движение тела графически»?
2. Объясните выражение «прочитайте график движения тела».
3. Как построить график зависимости координаты тела от времени?
4. Как, используя график скорости, рассчитать путь, пройденный телом за определенное время?
5. На рисунке 9.4 приведены графики зависимостей координат трех тел от времени. Что означают точки пересечения этих графиков: а) друг с другом; б) с осями координат?

Примеры решения задач

Рассмотрим примеры решения задач на механическое движение. Напоминаем вам, что, прежде чем приступить к задаче, необходимо внимательно прочитать ее условие и представить описанное явление. Затем нужно найти законы, описывающие это явление, и записать их на языке математики. После этого составляем условие задачи в краткой форме, принятой в физике. Желательно решение задач сопровождать рисунками, схемами или графиками. Единицы измерения физических величин необходимо выразить в системе СИ.

Задача 1. Самолет летит со скоростью 864 км/ч. Какое расстояние пролетит самолет за 12 мин?

Дано:	СИ
$v = 864$ км/ч	240 м/с
$t = 12$ мин	720 с
Найти: $s$ — ?

Решение. Сначала переведем единицы измерения физических величин в систему СИ. Напоминаем, как выразить скорость и время в СИ:

$$v = 864\ \frac{\text{км}}{\text{ч}} = \frac{864 \cdot 1000\ \text{м}}{3600\ \text{с}} = \frac{864\ \text{м}}{3{,}6\ \text{с}} = 240\ \frac{\text{м}}{\text{с}}.$$ $$t = 12\ \text{мин} = 12 \cdot 60\ \text{с} = 720\ \text{с}.$$

После того как оформлена краткая запись задачи, а единицы измерения переведены в СИ, приступаем к непосредственному разбору явления, описанного в задаче. Сказано, что самолет летит с постоянной скоростью, т. е. движение равномерное. Путь при равномерном движении можно рассчитать по формуле: $s = vt$.

Теперь проверим размерность данной величины: $[s] = \dfrac{\text{м}}{\text{с}} \cdot \text{с} = \text{м}$. Произведем вычисления:

$$s = 240 \cdot 720 = 172\,800\ \text{м} = 172{,}8\ \text{км}.$$

Ответ: $s = 172{,}8$ км.

Задача 2. Скорость автомобиля 72 км/ч, а скорость ветра 5 м/с. Какова скорость ветра в системе отсчета, связанной с автомобилем? Рассмотреть два случая: ветер а) встречный; б) попутный.

Дано:	СИ
$v_1 = 72$ км/ч	20 м/с
$v_2 = 5$ м/с
Найти: $v_{отн.}$ — ?

Решение. Сначала выразим скорость автомобиля в СИ: $v_1 = \dfrac{72\ \text{м}}{3{,}6\ \text{с}} = 20$ м/с.

Перейдем в систему отсчета, связанную с автомобилем. В этой системе автомобиль покоится, земля будет двигаться со скоростью 72 км/ч навстречу автомобилю, а значит, воздух вместе с землей движется с такой же скоростью в том же направлении. Воспользовавшись законом сложения скоростей, будем иметь:

$$\vec{v}_{отн.} = \vec{v}_1 + \vec{v}_2.$$

а) Ветер дует навстречу автомобилю, значит, скорости складываются:

$$v_{отн.} = (20 + 5)\ \text{м/с} = 25\ \text{м/с}.$$

б) В случае попутного ветра скорости вычитаются, так как в системе отсчета, связанной с автомобилем, ветер дует в сторону, противоположную движению воздуха:

$$v_{отн.} = (20 - 5)\ \text{м/с} = 15\ \text{м/с}.$$

Ответ: а) $v_{отн.} = 25$ м/с; б) $v_{отн.} = 15$ м/с.

Задача 3. Автобус и автомобиль движутся прямолинейно и равномерно в одном направлении со скоростями 50 км/ч и 80 км/ч. В начальный момент времени расстояние между ними 24 км. Через какое время автомобиль догонит автобус?

Дано: $v_1 = 50$ км/ч; $v_2 = 80$ км/ч; $s = 24$ км. Найти: $t$ — ?

Решение. Свяжем систему отсчета с автобусом. В этой системе отсчета скорость автомобиля будет равна: $v_{отн.} = v_2 - v_1$. Фактически $v_{отн.}$ — это скорость сближения машин. Тогда до встречи автомобиль пройдет расстояние $s = v_{отн.}\, t$. Отсюда: $t = \dfrac{s}{v_{отн.}} = \dfrac{s}{v_2 - v_1}$.

В данной задаче вычисления удобно производить не в системе СИ.

Проверим размерность: $[t] = \dfrac{\text{км}}{\text{км/ч}} = \text{ч}$.

Произведем вычисления: $t = \dfrac{24}{80 - 50} = \dfrac{24}{30} = 0{,}8$ ч $= 48$ мин.

Ответ: $t = 48$ мин.

Задача 4. Пассажир, прогуливаясь по перрону, замечает, что мимо трех вагонов он проходит за 2 мин. Длина одного вагона 25 м. Определите скорость пассажира и время, в течение которого он пройдет мимо всего поезда, состоящего из 24 вагонов.

Дано:	СИ
$t_1 = 2$ мин	120 с
$s_0 = 25$ м
$n_1 = 3$
$n = 24$
Найти: $v$ — ? $t$ — ?

Решение. Считая, что пассажир идет по перрону равномерно, найдем его скорость:

$$v = \frac{s_1}{t_1} = \frac{s_0 n_1}{t_1}, \qquad (1)$$

где $s_1$ — длина трех вагонов, $s_0$ — длина одного вагона.

Произведем вычисления: $v = \dfrac{25\ \text{м} \cdot 3}{120\ \text{с}} = 0{,}625\ \dfrac{\text{м}}{\text{с}}$.

Скорость пассажира можно рассчитать и по-другому:

$$v = \frac{s}{t} = \frac{s_0 n}{t},$$

где $n$ — число всех вагонов.

Отсюда найдем время $t$, за которое пассажир пройдет мимо всего состава:

$$t = \frac{s_0 n}{v}. \qquad (2)$$

Подставив в формулу (2) значение скорости из (1), получим:

$$t = \frac{s_0 n t_1}{s_0 n_1} = \frac{n t_1}{n_1}.$$

Следовательно, $t = \dfrac{24 \cdot 120\ \text{с}}{3} = 960$ с $= 16$ мин.

Ответ: $t = 16$ мин.

Творческая мастерская

Решите.

1. На рисунке 9.5 дан график зависимости скорости точки, движущейся по прямой, от времени. Опишите характер движения точки. Постройте график зависимости координаты от времени, если начальная координата точки равна 400 м.

Рис. 9.5

2. Комбайн движется равномерно и прямолинейно со скоростью 24 км/ч в течение 10 мин, затем стоит в течение 5 мин, после чего движется в обратном направлении со скоростью 36 км/ч в течение 8 мин. Изобразите характер движения комбайна на графике $x = f(t)$.
3. Шарик, скатываясь с наклонной плоскости длиной 1,2 м, потратил на это 2 с. Затем, до полной остановки, он проехал по горизонтальной поверхности 3,6 м. На это у него ушло 3 с. Какова средняя скорость шарика на каждом участке и на всем пути? Ответ: 0,6 м/с; 1,2 м/с; 0,96 м/с.
4. Как будет выглядеть график зависимости пути от времени для тела, которое двигалось 15 с со скоростью 4 м/с, затем в течение 20 с стояло, после чего проехало еще 10 с со скоростью 10 м/с в том же направлении?
5. На рисунке 9.6 дан график зависимости координаты точки от времени. Определите скорости точки за отдельные интервалы времени. Опишите, как двигалась точка в течение первых четырех секунд; в течение следующих двух секунд; в интервале от 6 до 8 с. Постройте графики скорости координаты в зависимости от времени.

Рис. 9.6

6. По графику рисунка 9.7 определите скорости движения тел. Ответ: $v_1 = 30$ м/с; $v_2 = 20$ м/с.

Рис. 9.7

7. Расстояние между городами $A$ и $B$ составляет 250 км. Одновременно из обоих городов выезжают два автомобиля. Скорость автомобиля, выехавшего из города $A$, равна 60 км/ч, скорость второго равна 40 км/ч. Постройте графики зависимости пути от времени для каждого автомобиля и по ним определите место и время встречи автомобилей. Решите задачу аналитически и сравните с графическим решением. Ответ: $t = 2{,}5$ ч; $x = 150$ км от города $A$.
8. Вдоль оси $Ox$ движутся два тела: первое — согласно уравнению $x_1 = -10 + 2t$, а второе — согласно уравнению $x_2 = 4 - 5t$. В какой момент времени и в какой точке они встретятся? Задачу решить аналитически и графически. Ответ: $t = 2$ ч; $x = -6$ м.

Самое важное в главе

Механическое движение — прямолинейное.

• Равномерное движение: $v = \text{const}$, $s = vt$, $x = x_0 + vt$. Скорость постоянная.
• Неравномерное движение: скорость меняется, $v_{ср} = \dfrac{s}{t}$ (средняя скорость).