Условие равновесия рычага

На этом уроке вы:

• усвоите понятие момент силы;
• узнаете, в чем состоит правило равновесия рычага;
• научитесь применять условие равновесия рычага при решении задач.

Ключевые слова: рычаг, плечо силы, момент силы, подвижный блок, неподвижный блок.

Одним из самых простых механизмов является рычаг.

Рычаг — это твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной точки опоры или оси.

В качестве рычага можно использовать палку, доску, лом. На рисунке 37.1 рычагом является лом, который вращается вокруг точки $A$. Когда на длинный конец лома действуют с силой $\vec{F}_1$, его короткий конец приподнимает груз, действующий на него с силой $\vec{F}_2$. Точки приложения обеих сил находятся на противоположных по отношению к точке $A$ сторонах рычага.

Рис. 37.1

Прямая линия, вдоль которой действует сила, называется линией действия силы.

Для расчета выигрыша в силе, получаемого с помощью рычага, проведем опыт. Укрепим на штативе рычаг и по обе стороны от оси вращения прикрепим к нему грузы (рис. 37.2).

Со стороны грузов на рычаг будут действовать силы $\vec{F}_1$ и $\vec{F}_2$, направленные вниз. Зафиксируем положение бо́льшего груза в точке $B$. В зависимости от места прикрепления меньшего груза рычаг может начать вращаться по ходу часовой стрелки или против ее хода.

Рис. 37.2

Кратчайшее расстояние между точкой опоры и прямой, вдоль которой на рычаг действует сила, называется плечом силы.

На рисунке 37.2 плечом силы $\vec{F}_1$ является расстояние $d_1$ ($AO$) — перпендикуляр из точки $O$ на прямую, вдоль которой действует сила $\vec{F}_1$. Соответственно, плечом силы $\vec{F}_2$ является расстояние $d_2$ ($OB$). Каждая сила будет создавать вращающий момент $M_1$ и $M_2$.

Момент силы — это физическая величина, равная произведению действующей силы на ее плечо:

$$M = F \cdot d, \qquad (37.1)$$

где $M$ — момент силы, $F$ — модуль силы, $d$ — плечо силы.

Слово момент происходит от лат. momentum, что означает «движущая сила», «толчок». Единицей измерения момента силы является $[M] = \text{Н} \cdot \text{м}$.

Опыт показывает, что рычаг остается в равновесии, если момент силы, вращающий рычаг по часовой стрелке, равен моменту силы, вращающему рычаг против часовой стрелки:

$$M_1 = M_2, \quad \text{или} \quad F_1 d_1 = F_2 d_2.$$

Отсюда следует, что выигрыш в силе зависит от отношения плеч.

Пусть в нашем опыте $d_1 = 2d_2$. Тогда выигрыш в силе будет равен 2.

На основании подобных опытов более 2 тыс. лет назад древнегреческим ученым Архимедом было установлено следующее правило равновесия рычага.

Рычаг находится в равновесии, если силы, действующие на него, обратно пропорциональны плечам этих сил.

Это правило (условие) равновесия рычага записывают в виде формулы:

$$\frac{F_2}{F_1} = \frac{d_1}{d_2}. \qquad (37.2)$$

Зная правило равновесия рычага, можно объяснить, как с помощью простого механизма получить выигрыш в силе.

Если к длинному концу рычага приложить небольшую силу, то можно уравновесить гораздо бо́льшую силу, приложенную к короткому концу рычага. Различают два вида рычага (рис. 37.3).

Рис. 37.3. Виды рычага: рычаг первого рода — неподвижная точка опоры располагается между линиями действия сил; рычаг второго рода — неподвижная точка опоры располагается по одну сторону от действующих сил.

Используя условия равновесия рычага, можно объяснить действие еще одного простого механизма — блока.

Блок представляет собой колесо с желобом, которое может вращаться относительно оси. По желобу пропускают нить, трос или веревку. Различают два вида блоков: подвижные и неподвижные.

Рис. 37.4. Виды блоков: неподвижные (ось закреплена неподвижно, не дает выигрыша в силе: $F_1 = F_2$); подвижные (ось двигается вместе с грузом, дает выигрыш в силе: $\dfrac{F_2}{F_1} = 2$)

Неподвижный блок. Если ось блока закреплена, то блок называется неподвижным, так как его ось не поднимается и не опускается.

Неподвижный блок можно представить как равноплечий рычаг, плечи которого равны радиусу колеса (рис. 37.4, а). Так как плечи неподвижного блока равны, он не дает выигрыша в силе. Неподвижный блок применяется для изменения направления действующей силы. Его удобно использовать в комбинации с другими простыми механизмами.

Подвижный блок. Чтобы получить выигрыш в силе, используют подвижный блок (рис. 37.4, б). Ось подвижного блока поднимается или опускается вместе с грузом. Подвижный блок тоже можно рассматривать как рычаг с плечами, равными $r$ и $2r$, так как в данном случае ось вращения будет проходить через точку $A$ (рис. 37.4, в), где плечи $AO = r$ и $AB = 2r$.

Тогда, применяя соотношение (37.2) к подвижному блоку, получим: $\dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{2r}{r}$. Следовательно, любой подвижный блок дает двукратный выигрыш в силе.

Наклонная плоскость. Наклонная плоскость тоже дает выигрыш в силе. Например, нам надо поднять груз массой $m$ на высоту $h$ (рис. 37.5, а). Это можно осуществить двумя способами.

Первый способ: поднять груз вертикально вверх на высоту $h$, прилагая силу $F_1$. При этом будет совершена работа $A_1 = F_1 h$.

Второй способ: втащить груз по наклонной плоскости длиной $l$, прилагая силу $F_2$, направленную вдоль гладкой (трение отсутствует) наклонной плоскости (рис. 37.5, б). Найдем работу и в этом случае: $A_2 = F_2 l$. В обоих случаях совершенная работа одна и та же, т. е.: $A_1 = A_2$ или $F_1 h = F_2 l$. Отсюда следует:

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{l}{h}.$$

Это означает, что во сколько раз сила тяги, действующая на тело вдоль наклонной плоскости, меньше силы, действующей при поднятии груза вертикально вверх, во столько раз высота наклонной плоскости меньше ее длины (рис. 37.6). Следовательно, большинство простых механизмов дают выигрыш в силе.

Рис. 37.5

Рис. 37.6. Наклонные плоскости: клин, винт, серпантин, лестница, конвейер

Вопросы

1. Что называется рычагом?
2. Что называется линией действия силы?
3. Дайте определение плечу силы.
4. Что называется моментом силы?
5. Что называется выигрышем в силе и как его находят?
6. Когда рычаг будет находиться в равновесии?
7. Посмотрите видео через QR-код и сделайте выводы.

Примеры решения задач

Задача 1. Будет ли система блок — рычаг — грузы (рис. 37.7, а) находиться в равновесии?

Решение. Расставим силы, действующие на рычаг (рис. 37.7, б). Учтем, что неподвижный блок не дает выигрыша в силе, а только изменяет ее направление. Поэтому сила натяжения нити $F_н$ будет равна силе тяжести, действующей на левый груз $mg$, т. е.:

$$F_н = mg. \qquad (1)$$

Если длину одного деления рычага принять за $d$, то плечо силы $F_н$ равно $4d$, а плечо силы $2mg$ равно $2d$. Условие равновесия выполняется при: $M_1 = M_2$.

Проверим: $mg \cdot 4d = 2mg \cdot 2d$.

Равенство справедливо, т. е. рычаг будет в равновесии.

Рис. 37.7

Задача 2. Груз какой массы надо подвесить к рычагу в точке $A$ (рис. 37.8, а), чтобы рычаг остался в равновесии? Масса груза $m_1 = 200$ г, масса каждого грузика, подвешенного в точке $B$ рычага, равна 100 г (массой подвижного блока и трением пренебречь).

Рис. 37.8

Дано: $m = 100$ г; $m_1 = 200$ г. Найти: $m_x$ — ?

Решение. Расставим силы, действующие на рычаг и блоки (рис. 37.8, б).

Рычаг будет в равновесии, если сумма моментов, действующих на него, будет равна нулю. Относительно точки $O$ имеем:

$$F \cdot 5d + m_x g \cdot 4d - 3mg \cdot 2d = 0. \qquad (1)$$

Подвижный блок будет в равновесии, если: $2F = m_1 g$. Отсюда: $F = \dfrac{m_1 g}{2} = 0{,}5\,m_1 g$. С учетом этого формула (1) перепишется так:

$$m_x g \cdot 4d = 3mg \cdot 2d - 0{,}5\,m_1 g \cdot 5d.$$

Следовательно, $m_x = \dfrac{6m - 2{,}5m_1}{4} = 25$ г.

Ответ: 25 г.

Задача 3. Какова должна быть масса груза, подвешенного к рычагу массой 200 г, чтобы он оставался в равновесии (рис. 37.9, а)? Груз, находящийся в воде, изготовлен из стали и имеет объем 50 см³. Плотность стали 7,8 г/см³, а воды 1 г/см³.

Дано: $m_р = 200$ г; $V = 50$ см³; $\rho_с = 7{,}8$ г/см³; $\rho_в = 1$ г/см³. Найти: $m_г$ — ?

Решение. Расставим силы, действующие на рычаг (рис. 37.9, б), и запишем условие равновесия рычага:

$$m_р g \cdot 1{,}5l + m_г g \cdot 2l - Fl = 0. \qquad (1)$$

Силу натяжения нити найдем, записав условие равновесия стального груза (рис. 37.9, б):

$$F + F_A = mg.$$

Масса стального груза и сила Архимеда соответственно равны: $m = \rho V$ и $F_A = \rho_в g V$.

Тогда $F = (\rho_с - \rho_в)gV$.

С учетом этого формула (1) перепишется так:

$$1{,}5\,l\,m_р g + 2\,l\,m_г g - 3(\rho_в - \rho_с)gVl = 0.$$

Отсюда:

$$m_г = \frac{3(\rho_с - \rho_в)V - 1{,}5\,m_р}{2};$$ $$m_г = \frac{3\,(7{,}8\ \text{г/см}^3 - 1\ \text{г/см}^3) \cdot 50\ \text{см}^3 - 1{,}5 \cdot 200\ \text{г}}{2} = 360\ \text{г}.$$

Ответ: 360 г.

Рис. 37.9

Творческая мастерская

Экспериментируйте. Используя видеоматериал QR-кода, выясните с помощью миллиметровой линейки длину плеч рычагов ножниц, гаечного ключа, кусачек. Определите выигрыш в силе данных простых механизмов.

Решите.

1. На рычаг длиной 80 см действует сила 5 Н. Рассчитайте момент этой силы, если плечо ее действия равно 20 см. Ответ: 1 Н · м.
2. К концам невесомого стержня длиной 90 см подвешены грузы массой 400 г и 800 г. Где нужно поставить опору, чтобы стержень находился в равновесии? Ответ: подпереть на расстоянии 30 см от большей силы.
3. Каким должен быть вес груза $P$, подвешенного к нити, перекинутой через неподвижный блок (рис. 37.10), чтобы невесомый рычаг оставался в равновесии, если сила натяжения нити равна $F$? Ответ: $P = 4$ Н.

Рис. 37.10

4. С помощью механизма (рис. 37.11) поднимают груз весом 420 Н. Какова масса балки? Балка при подъеме остается в горизонтальном положении. Ответ: $m = 28$ кг.

Рис. 37.11

5. Труба длиной 9 м и массой 140 кг лежит на 2 горизонтальных опорах. Одна опора на конце трубы, а другая на расстоянии 1 м от другого конца. Определите силы реакции опор. Ответ: $N_A = 600$ Н, $N_B = 800$ Н.
6. Чтобы удержать на ледяной горе санки с седоком весом 480 Н, нужна сила 120 Н. Наклон горки по всей ее длине постоянный. Чему равна длина горы, если высота 4 м. Ответ: 16 м.