Коэффициент полезного действия простых механизмов. Золотое правило механики

На этом уроке вы:

• узнаете, в чем смысл золотого правила механики;
• научитесь определять КПД простых механизмов.

Ключевые слова: коэффициент полезного действия (КПД).

С помощью простых механизмов можно совершать механическую работу по подъему и перемещению грузов. Однако какой бы механизм ни взяли, каждый из них совершает работу по преодолению различных сил сопротивления или трения. Поэтому на практике полезная работа любого реального механизма всегда меньше его полной (или затраченной) работы ($A_п < A$). Для характеристики эффективности механизма введена особая физическая величина, которая называется коэффициентом полезного действия механизма (КПД). КПД обозначают греческой буквой $\eta$ («эта»).

КПД показывает, какая часть от затраченной работы идет на полезную работу.

Обычно КПД выражают в процентах.

$$\eta = \frac{A_п}{A_з} \cdot 100\%. \qquad (38.1)$$

Под полезной работой понимают такую работу, на совершение которой затрачивался бы минимум энергии.

Под затраченной (совершенной) работой понимают всю работу, произведенную в ходе процесса.

КПД любых механизмов всегда меньше 100%, поэтому невозможно построить механизм, который всю полученную энергию превращал бы в полезную работу. Потери энергии в механизме неизбежны.

КПД рычага. Рассчитаем КПД рычага. Нам необходимо, используя рычаг, поднять груз массы $m$, находящийся на коротком плече рычага $d_1$, на высоту $h$. К длинному плечу $d_2$ прикладываем силу $F$. При подъеме груза длинное плечо опустится на высоту $h_2$, груз же поднимется на высоту $h_1$ (рис. 38.1).

Полезная работа — это работа по подъему груза. Она равна: $A_п = mgh_1$.

Затраченная работа — это работа, совершенная силой $F$: $A_з = Fh_2$.

Тогда КПД рычага равен:

$$\eta = \frac{mgh_1}{Fh_2} \cdot 100\%. \qquad (38.2)$$

Рис. 38.1

КПД подвижного блока. Рассчитаем КПД подвижного блока. Обратимся к рисунку 38.2. Сила $F$, действующая вдоль нити, совершает работу по подъему груза массой $m$ на высоту $h$. Но ведь приходится поднимать и сам блок, масса которого равна $m_{бл.}$, и преодолевать силу трения.

Полезная работа — это работа по подъему груза. Она равна: $A_п = mgh$.

Затраченная работа — это работа, совершенная силой $F$: $A_з = Fl$.

Эксперимент показывает, что свободный конец нити проходит расстояние $l = 2h$, где $h$ — высота, на которую поднят груз.

$$A_з = F \cdot 2h.$$

Тогда КПД подвижного блока равен:

$$\eta = \frac{mgh}{F \cdot 2h} \cdot 100\% = \frac{mg}{2F} \cdot 100\%. \qquad (38.3)$$

Рис. 38.2

КПД неподвижного блока. КПД неподвижного блока равен:

$$\eta = \frac{mgh}{Fl} \cdot 100\%.$$

В случае неподвижного блока высота $h$, на которую поднимается груз, равна расстоянию, которое пройдет свободный конец нити $l$, т. е. $l = h$. Тогда получим, что КПД неподвижного блока равен:

$$\eta = \frac{mgh}{Fh} \cdot 100\% = \frac{mg}{F} \cdot 100\%. \qquad (38.4)$$

КПД наклонной плоскости. Рассчитаем КПД наклонной плоскости. Обратимся к рисунку 38.3. Из него видно, что полезная работа равна $A_п = mgh$, а затраченная $A_з = F_1 l$. Тогда КПД наклонной плоскости будет равен:

$$\eta = \frac{mgh}{F_1 l} \cdot 100\%. \qquad (38.5)$$

Рис. 38.3

Как показывает многовековая практика и как видно из наших рассуждений и расчетов, ни один из механизмов не дает выигрыша в работе.

Если учитывать работу против силы трения, то мы проиграем в работе, так как не сможем избавиться от трения.

Если не учитывать силу трения, т. е. в идеальном случае, полезная и затраченная работы будут одинаковы. Тогда можно написать:

$$A_1 = A_2 \quad \text{или} \quad F_1 l_1 = F_2 l_2, \quad \text{или} \quad \frac{F_2}{F_1} = \frac{l_1}{l_2}. \qquad (38.6)$$

Используются различные механизмы для облегчения работы человека: в одних случаях целесообразно получить выигрыш в силе, в других — в пути.

Итак, для использования простых механизмов установлено следующее: во сколько раз выигрываем в силе, во столько раз проигрываем в расстоянии. Это правило было открыто еще древними учеными и названо золотым правилом механики.

Вопросы

1. Что вы понимаете под коэффициентом полезного действия?
2. По какой формуле рассчитывают КПД механизмов?
3. Какая работа называется полезной, а какая — затраченной?
4. Можно ли построить механизм, КПД которого будет равен: а) 75%; б) 120%?
5. Как рассчитать КПД рычага?
6. Как рассчитать КПД неподвижного блока?
7. Как рассчитать КПД подвижного блока?
8. Как рассчитать КПД наклонной плоскости?
9. Сформулируйте золотое правило механики.

Творческая мастерская

Объясните. Объясните работу подъемного крана, используя рисунок 38.4. Какой должна быть минимальная масса противовеса, если длина стрелы крана равна 15 м, а максимальный груз, поднимаемый краном, имеет массу 3,5 т. Центр тяжести противовеса расположен на расстоянии 1,2 м от оси крана. Ответ: 44 т.

Рис. 38.4

Познай себя.

1. Сконструируйте сложный механизм, состоящий из неподвижного и подвижного блоков, штатива и прочной нити. Используя динамометр и школьную линейку, поднимите груз, прикрепленный к подвижному блоку, на произвольную высоту. Рассчитайте: а) полезную работу; б) полную работу; в) КПД механизма; г) выигрыш в силе; д) выигрыш в работе.
2. Укажите рычаги, имеющиеся в вашем организме.

Исследуйте.

1. Изобразите схематично подъем какого-либо груза с помощью неподвижного и подвижного блоков на произвольную высоту $h$. Покажите действующие при этом на него силы. Докажите, что блоки не дают выигрыша в работе.
2. Определите с помощью динамометра силу тяжести, действующую на брусок (рис. 38.5). Положите его на наклонную плоскость и измерьте силу, действующую на брусок при его равномерном перемещении вверх по этой наклонной плоскости. Измерив линейкой высоту $h$ и длину $L$ наклонной плоскости, вычислите ее КПД.

Рис. 38.5

Решите.

1. С помощью рычага груз массой 20 кг равномерно подняли на высоту 80 см. При этом длинное плечо рычага, к которому приложена сила 120 Н, опустилось на 2 м. Каков КПД рычага? Ответ: 67%.
2. Какая сила потребуется для равномерного подъема груза массой 200 кг по наклонной плоскости, КПД которой 65%? Высота наклонной плоскости 1,2 м, а длина 16 м. Ответ: 231 Н.
3. С помощью подвижного блока, КПД которого 50%, груз массой 45 кг подняли на высоту 12 м. Определите величину силы, приложенной к концу троса. Ответ: 450 Н.
4. Каков КПД подвижного блока, с помощью которого равномерно поднимают груз массой 70 кг, действуя на веревку силой 400 Н? Ответ: 87,5%.
5. С помощью рычага подняли груз массой 12 кг на высоту 30 см. Длинное плечо рычага в 8 раз больше короткого. Какую силу надо приложить к большому плечу, если КПД рычага 80%? На сколько опустится при этом конец длинного плеча? Ответ: 18,75 Н; на 2,4 м.