Скалярные и векторные величины

На этом уроке вы:

• узнаете, какие величины называются скалярными, а какие векторными;
• научитесь различать скалярные и векторные физические величины.

Ключевые слова: скалярная величина, векторная величина.

В процессе изучения физики вы будете встречать два вида физических величин — скалярные и векторные.

Скалярная величина — это физическая величина, которая имеет только одну характеристику — численное значение. Скалярная величина может быть положительной или отрицательной. Примерами скалярных величин являются известные вам физические величины: масса, температура, путь, время, объем, длина и др. Так, масса тела равна 3 кг, температура воздуха равна −10 °C, длина стержня — 1 м. Во всех этих случаях интересующая нас величина имеет только численное значение. Следовательно, масса, температура и длина являются скалярными величинами.

Во многих случаях числовые значения и единицы измерения не всегда являются достаточными для понимания смысла физических понятий и величин. Поэтому в физике вводятся векторные величины.

Векторная величина — это физическая величина, которая имеет две характеристики — модуль и направление в пространстве.

Над буквами векторных физических величин ставят стрелку. В этом учебном году вы ознакомитесь с такими векторными величинами, как скорость $\vec{v}$, перемещение $\vec{s}$, сила $\vec{F}$. Так, запись $\vec{v}$ (со стрелкой) означает, что скорость — векторная величина, имеющая направление, а запись $v$ (без стрелки) — модуль, т. е. числовое значение скорости.

На рисунке направление вектора изображается как направленный отрезок прямой линии, длина которого в масштабе — модуль вектора. На рисунке 4.1 изображен вектор скорости тела.

Рис. 4.1. Вектор скорости $v = 6$ м/с; масштаб: 2 м/с

Предположим, что два велосипедиста двигаются по дорожке навстречу друг другу со скоростями $v_1 = 4$ км/ч и $v_2 = 8$ км/ч (рис. 4.2). Тогда векторы $\vec{v}_1$ и $\vec{v}_2$ скоростей велосипедистов будут иметь противоположные направления, причем длина вектора $\vec{v}_2$ в два раза больше, т. е. вектор $\vec{v}_2$ вдвое длиннее.

Рис. 4.2

Векторные величины можно складывать, вычитать, умножать, делить. Но для них действуют другие правила. Например, если два вектора $\vec{a}$ ($AB$) и $\vec{b}$ ($BC$) с разными модулями направлены в одну сторону, то модуль их суммы равен сумме отдельных модулей, а сам вектор суммы направлен в ту же сторону, куда направлены векторы, которые складывают (рис. 4.3, а). Если же два вектора $\vec{a}$ ($AB$) и $\vec{b}$ ($BC$) с разными модулями направлены в противоположные стороны, то их модуль равен разности отдельных модулей, а сам вектор направлен в сторону большего вектора (рис. 4.3, б).

Рис. 4.3. а) векторы направлены в одну сторону; б) векторы направлены в противоположные стороны

Эти правила вы знаете из математики.

Рассмотрим движение велосипедистов (см. рис. 4.2). Видно, что они движутся навстречу друг другу. Значит, модуль скорости их сближения будет равен $v_{сбл} = v_2 - v_1$ и направлен в сторону вектора с большим модулем, т. е. в сторону вектора $\vec{v}_2$.

Приведем несколько примеров векторных и скалярных величин.

1. Часто путают понятие пути с понятием перемещения. Путь — это скалярная величина. Он имеет только численное значение. А перемещение — это векторная величина, которая имеет модуль, и направление. Например, автомобиль проехал 50 км. Этой информации недостаточно для того, чтобы определить местоположение автомобиля. Необходимо указать направление его движения.
2. Часто путают понятие массы тела с понятием веса тела. Масса — это скалярная величина, которая показывает, какое количество вещества содержится в теле. А вес тела — это векторная величина, которая показывает, с какой силой тело действует на опору или подвес.
3. Объем, площадь, размеры тела — это скалярные величины, имеющие только численные значения (модуль). А перемещение, скорость, сила — это векторные величины, которые кроме модуля указывают еще и направление.

Вопросы

1. Какие физические величины называются скалярными? Приведите примеры.
2. Какие физические величины называют векторными?
3. Чем скалярная величина отличается от векторной?
4. Как обозначается векторная физическая величина?
5. Как на рисунке изображается направление вектора?
6. Какая величина является векторной: путь или перемещение? Как вы это определили?
7. Почему температуру и массу нельзя считать векторными величинами?
8. Длина или объем тела являются векторными величинами?
9. Мотоцикл и мопед двигаются от автостанции по улицам города со скоростью 15 м/с. Достаточно ли этих данных, чтобы узнать их местоположение через 10 с?
10. Какая величина векторная — объем или сила? Как вы это определили?

Творческая мастерская

Решите.

1. Определите модуль суммы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на рисунке 4.3, а, если $|\vec{a}| = 5$, а $|\vec{b}| = 3$.
2. Определите модуль суммы векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ на рисунке 4.3, б, если $|\vec{a}| = 5$, а $|\vec{b}| = 3$.

Анализируйте. Может ли модуль суммы двух векторов быть равен 0?