Точность измерений и вычислений. Запись больших и малых чисел

На этом уроке вы:

• узнаете причины погрешностей при измерении;
• научитесь записывать результат измерений с учетом погрешности.

Ключевые слова: точность измерений, погрешность измерения, шкала прибора, цена деления, абсолютная погрешность.

Точность измерений и вычислений. В практической деятельности, в научно-исследовательских работах точность измерения физических величин занимает особое место. При измерении физических величин часто требуется получить как можно более точный результат. Однако какие бы измерения мы ни проводили, они будут выявлены с какой-то погрешностью. Невозможно измерить что-то абсолютно точно. Например, температуру тела человеке определяют с точностью до десятых долей градуса (36,6 °C), а массу микродобавок в рацион животных — с точностью до миллиграммов.

Произведя измерение, необходимо правильно оценить полученную при этом ошибку, которая называется погрешностью измерения.

Погрешность измерения зависит от правильного выбора прибора. Все измерительные приборы имеют шкалу (рис. 5.1).

Шкала — это метки с цифрами на приборе, вдоль которых перемещается указатель (стрелка, уровень жидкости, «световой зайчик» и т. д.). Вся шкала расчерчена штрихами и имеет деления.

Деление — это расстояние между двумя ближайшими штрихами.

Рис. 5.1

Устройство каждого измерительного прибора индивидуально, так же как и его шкала и цена деления шкалы.

Для того чтобы определить цену деления, нужно найти разницу между любыми соседними цифрами и разделить ее на число делений между ними.

Шкала прибора должна иметь такую цену деления, которая соответствовала бы измеряемой величине. Например, миллиметровой линейкой крайне неудобно измерять длину здания или толщину листа бумаги. В то же время этой же линейкой удобно измерять размеры книги, стола или других небольших предметов.

Чем меньше цена деления прибора, тем больше точность измерения.

Для того чтобы определить цену деления, необходимо найти разность между двумя соседними цифрами на шкале прибора и разделить ее на число делений между ними.

Рассмотрим в качестве примера измерительную ленту и ученическую линейку (рис. 5.2). Они являются простейшими приборами для измерения длины.

Рис. 5.2

Найдем цену деления линейки и измерительной ленты. На линейке нанесены цифры 1, 2, 3 и т. д. Расстояние между соседними цифрами равно 1 см. Между цифрами 1 и 2, 2 и 3 и т. д. нанесено по 10 делений. Тогда цена одного деления шкалы линейки будет равна:

$$\frac{(2-1)\ \text{см}}{10} = 0{,}1\ \text{см} = 1\ \text{мм}.$$

На измерительной ленте цифры те же: 1, 2, 3 и т. д., но между соседними цифрами только два деления. Следовательно, цена деления измерительной ленты равна:

$$\frac{(2-1)\ \text{см}}{2} = 0{,}5\ \text{см} = 5\ \text{мм}.$$

Измерим длину, ширину и высоту бруска линейкой и измерительной лентой. Длина бруска, измеренная с помощью линейки, оказалась равной 10,2 см, ширина — 6,4 см, а высота — 5 см (рис. 5.3, а). Длина этого же бруска, измеренная лентой, равна 10 см, ширина — 6,5 см, а высота — 5 см (рис. 5.3, б).

Рис. 5.3. а) измерение линейкой; б) измерение лентой

Каковы же тогда длина, высота и ширина бруска на самом деле?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, введем понятие погрешность измерения.

Под погрешностью измерения понимают величину, равную половине цены деления шкалы прибора.

Эту погрешность называют абсолютной погрешностью измерений. Значит, миллиметровая линейка имеет абсолютную погрешность 0,05 см, а измерительная лента — 0,25 см.

С учетом этого значения величин (длины, ширины и высоты бруска), измеренных нами с помощью линейки, будут равны $l = 10{,}2 \pm 0{,}05$ см, $b = 6{,}4 \pm 0{,}05$ см и $h = 5 \pm 0{,}05$ см соответственно. Эти же значения, но измеренные с помощью измерительной ленты, будут равны $l = (10 \pm 0{,}25)$ см, $b = (6{,}5 \pm 0{,}25)$ см и $h = (5 \pm 0{,}25)$ см. Видно, что во втором случае измерения произведены с большей погрешностью.

При записи величин с учетом погрешности следует пользоваться формулой:

$$A = a \pm \Delta a,$$

где $A$ — измеряемая величина, $a$ — результат измерений, $\Delta a$ — погрешность измерения ($\Delta$ — греческая буква дельта).

При проведении измерений любой ученик, отвлекаясь, может допустить грубую ошибку. Повторные измерения, сделанные более внимательно, укажут на эту ошибку. Такое измерение надо исключить из дальнейших расчетов. Чтобы не допускать грубых ошибок, необходимо быть внимательным и аккуратным, осторожно обращаться с приборами, правильно снимать показания с их шкалы. Кроме этого, погрешность может возникнуть из-за того, что мы неправильно располагаем глаз при проведении измерений. Глаз всегда должен располагаться перпендикулярно делению шкалы, на которое мы смотрим (рис. 5.4).

Рис. 5.4

Итак, ошибки при измерении существуют всегда, причем они тем больше, чем больше цена деления. Из этого следует, что у каждого измерительного прибора есть погрешность в измерениях, которая определяет класс точности прибора.

В настоящее время многие измерительные приборы являются цифровыми. Они удобны тем, что значение измеряемой величины можно сразу увидеть на экране, не производя никаких вычислений. Результаты с цифрового табло также записываются с учетом погрешности измерения.

Предлагаем вам самостоятельно определить цену деления наручных часов и других измерительных приборов, имеющихся у вас дома.

Запись больших и малых чисел. При измерениях или вычислениях физических величин могут получаться числа либо очень большие, либо очень малые. Например, длительность года равна 365 дням, или 8760 ч, или 525 600 мин, или 31 536 000 с. Видно, что длительность года, выраженная в днях, более удобна для вычислений, чем в секундах.

Для удобства вычислений большие числа принято записывать в более компактном виде с использованием числа 10 в степени. Например, возьмем число 1000. Его можно представить в виде $10 \cdot 10 \cdot 10$, или же $10^3$. Следовательно, число 3000 можно записать так: $3 \cdot 1000 = 3 \cdot 10^3$. Число 0,00001 можно записать так:

$$\frac{1}{100\,000} = \frac{1}{10^5} = 10^{-5}.$$

Понятно, что такая запись числа более удобна. Это хорошо видно из следующих примеров:

1. $2\,000\,000\,000\,000 = 2 \cdot 10^{12}$.
2. $0{,}0000000000000004 = 4 \cdot 10^{-16}$.

Покажем теперь, как производить вычисления с такими числами. Например,

$100 \cdot 4000 = 400\,000 = 4 \cdot 10^5$, или

$100 \cdot 4000 = 10^2 \cdot 4 \cdot 10^3 = 4 \cdot 10^{3+2} = 4 \cdot 10^5$;

$4000 \cdot 0{,}01 = 40$, или

$4000 \cdot 0{,}01 = 4 \cdot 10^3 \cdot 10^{-2} = 4 \cdot 10^{3+(-2)} = 4 \cdot 10^1 = 40$.

Любое число можно представить в виде произведения двух множителей. Первый множитель — это целое число с дробной частью, а второй — это число 10 с показателем степени. Например, длительность года может быть представлена в виде:

$$31\,536\,000\ \text{с} \approx 3{,}15 \cdot 10^7\ \text{с}.$$

Длина экватора Земли составляет $40\,000\,000$ м $= 4 \cdot 10^7$ м.

Масса комара равна 2 мг $= 0{,}000002$ кг $= 2 \cdot 10^{-6}$ кг.

Масса Земли (примерно) $6\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000$ кг $= 6 \cdot 10^{24}$ кг.

Запись чисел с использованием числа 10 в степени называют записью числа в стандартном виде.

Математические действия с такими числами производить гораздо легче. Пусть даны числа $x = a \cdot 10^n$ и $y = b \cdot 10^m$. Тогда произведение этих чисел будет равно: $x \cdot y = ab \cdot 10^{n+m}$, а частное $\dfrac{x}{y} = \dfrac{a}{b} \cdot 10^{n-m}$.

Приведем следующие примеры:

1. $5{,}2 \cdot 10^4 \cdot 4 \cdot 10^7 = 5{,}2 \cdot 4 \cdot 10^{4+7} = 20{,}8 \cdot 10^{11}$.
2. $8 \cdot 10^4 \cdot 4 \cdot 10^{-6} = 8 \cdot 4 \cdot 10^{4-6} = 32 \cdot 10^{-2}$.
3. $\dfrac{16 \cdot 10^8}{5 \cdot 10^6} = \dfrac{16}{5} \cdot 10^{8-6} = 3{,}2 \cdot 10^2$.
4. $\dfrac{36 \cdot 10^8}{4 \cdot 10^{-6}} = \dfrac{36}{4} \cdot 10^{8-(-6)} = 9 \cdot 10^{14}$.

Напоминаем, что $10^0 = 1$.

Вопросы

1. Опишите назначение и устройство измерительного прибора.
2. Что такое цена деления шкалы и как ее найти?
3. Что такое погрешность измерения?
4. Какая погрешность называется абсолютной?
5. Объясните, каким образом можно измерить величину наиболее точно.
6. Почему запись больших и малых чисел удобна в стандартном виде?
7. Планета Земля имеет объем $1\,083\,000\,000\,000$ км³. Представьте этот объем в стандартном виде.

Творческая мастерская

Решите. Представьте число в виде степени с основанием 10 (т. е. в стандартном виде). Например, $0{,}01 = 10^{-2}$ или $50\,000 = 5 \cdot 10^4$ (табл. 1).

Таблица 1

300 =	10 000 =	1/100 =	0,00000012 =
7000 =	5 000 000 =	0,0004 =	0,0000000008 =

Анализируйте.

1. Определите цену деления шкалы вашей ученической линейки. Измерьте с ее помощью длину ручки.
2. Определите цену деления измерительной ленты. С ее помощью измерьте длину и ширину стола. Вычислите погрешность измерения.
3. Определите и запишите пределы измерения и цену деления мензурки. Определите объем воды в мензурке, объем тела, погруженного в воду (рис. 5.5). Вычислите погрешность измерений.
4. Рассмотрите устройство медицинского термометра. Определите и запишите цену деления шкалы термометра, верхний и нижний пределы шкалы термометра (рис. 5.6).

Рис. 5.5

Рис. 5.6

5. Определите цену деления мерного цилиндра и объем воды в нем (рис. 5.7).

Рис. 5.7

6. Определите цену деления линейки и высоту бруска (рис. 5.8).

Рис. 5.8

7. Определите диаметр нити (рис. 5.9).

Рис. 5.9