Сила упругости. Закон Гука

На этом уроке вы:

• узнаете, какую силу называют силой упругости;
• научитесь применять закон Гука для расчета силы упругости.

Ключевые слова: сила упругости, динамометр, закон Гука, жесткость.

Как вам уже известно, если после прекращения действия силы тело восстанавливает исходные форму и размеры, то происходит упругая деформация. В результате деформации тела возникает сила, стремящаяся вернуть его в исходное положение, которая называется силой упругости $\vec{F}_{упр.}$. Она возникает во всех случаях, когда тело деформируется. Особенностью силы упругости является то, что она всегда направлена в сторону, противоположную деформации.

Роберт Гук (1635—1703). Английский физик, ученый-энциклопедист, является одним из основателей экспериментальной физики. Сделал много открытий и в других науках.

Проделаем следующий опыт. Подействуем на пружинный стержень длиной в недеформированном состоянии $l_0$ некоторой силой $\vec{F}$. Стержень растянется на величину ($\Delta l = l - l_0$, где $\Delta l$ — удлинение тела или изменение его длины). На стержень в этот момент будет действовать сила упругости $\vec{F}_{упр.}$ (рис. 18.1). Увеличим деформацию в 2 раза, стержень растянется на величину $2\Delta l$, и сила упругости также увеличится в 2 раза. Продолжая опыт, можно заметить, что сила упругости будет прямо пропорциональна деформации (удлинению) тела, т. е. $F_{упр.} \sim \Delta l$.

Рис. 18.1

Английский ученый Роберт Гук экспериментально исследовал свойства упругих тел и вышеприведенную зависимость. Он первым установил, что сила упругости, возникающая при деформации тела, прямо пропорциональна удлинению тела:

$$F_{упр.} = -k\Delta l. \qquad (18.1)$$

Это уравнение выражает закон Гука.

Знак «—» показывает, что вектор силы упругости направлен в сторону, противоположную деформации.

Удлинение тела $\Delta l$ часто обозначают буквой $x$, поэтому модуль силы упругости находят так:

$$F_{упр.} = kx. \qquad (18.2)$$

Коэффициент $k$ в формулах (18.1) и (18.2) называется жесткостью. Он характеризует упругие свойства тела и зависит от его формы и размеров, а также материала, из которого тело изготовлено. Единицей измерения жесткости является $\dfrac{\text{Н}}{\text{м}}$. Разные материалы обладают различной упругостью, поэтому закон Гука применим не ко всем материалам. Этот закон выполняется для тел с упругими свойствами и при малых деформациях.

Исходя из результатов эксперимента, Гуком была построена зависимость силы упругости от величины удлинения (рис. 18.2).

Из графика видно, что зависимость эта линейная. Используя линейную зависимость силы упругости от деформации, можно изготовить прибор для измерения силы.

Рис. 18.2

Прибор, предназначенный для измерения силы, называется динамометром (в пер. с греч. означает силомер). Основной его частью является пружина, растяжение которой в результате деформации характеризует значение действующей силы.

Рассмотрим принцип действия школьного динамометра (рис. 18.3). Школьный динамометр состоит из пластмассового корпуса, к которому прикреплена стальная пружина с указателем и крючком. Пружина является основной его частью, растяжение которой в результате деформации характеризует значение действующей силы.

Рис. 18.3

На корпус нанесена шкала с делениями от 0 до 4 Н. В нижней части имеется специальная стрелка, которая показывает удлинение пружины под действием приложенной силы. Нулевая отметка соответствует положению стрелки нерастянутой пружины. Подвешивая к динамометру грузы массой 100 г, 200 г, 300 г, будем измерять удлинение пружины. Согласно закону Гука, сила упругости пружины увеличивается во столько же раз, во сколько увеличивается ее удлинение.

В зависимости от упругих свойств пружины, использованной в динамометре, под действием одной и той же силы пружина может удлиняться больше или меньше. Это позволяет изготавливать динамометры с различными пределами измерения.

Существуют динамометры с пределом измерения в несколько килоньютонов и больше. Такие динамометры предназначены для измерения силы тяги (рис. 18.4). В них используется пружина с очень большой жесткостью.

Рис. 18.4

На рисунке 18.5 показаны динамометры (силомеры) для измерения мускульной силы рук, отличающиеся по своему внешнему виду и конструкции. Однако принцип их действия основан на использовании зависимости деформации пружины от приложенной к ней силы.

Рис. 18.5

На практике применяют также ртутные, гидравлические, электрические и другие динамометры.

Вопросы

1. Какие силы называются упругими?
2. Как возникают силы упругости?
3. Сформулируйте закон Гука.
4. Каков физический смысл жесткости?
5. Каково назначение динамометра?
6. Как устроен школьный динамометр?
7. Девочка вылепила из пластилина фигурку белочки. Какой вид деформации наблюдается в этом случае?

Пример решения задачи

Задача. Груз массой 1,4 кг растягивает пружину на 4 см. Каким станет удлинение пружины, если к ней подвесить еще один груз массой 2,45 кг?

Дано: $m_1 = 1{,}4$ кг; $m_2 = 2{,}45$ кг; $x_1 = 4$ см. Найти: $x_2$ — ?

Решение. Рассмотрим ситуацию на рисунке 18.6. Первый груз, растягивая пружину, вызовет появление в ней силы упругости, которая компенсирует действие силы тяжести груза, т. е. $kx_1 = m_1 g$.

Условие равновесия, после того как будет подвешен второй груз, выглядит так: $kx_2 = (m_1 + m_2)g$.

Рис. 18.6

Разделим второе уравнение на первое:

$$\frac{x_2}{x_1} = \frac{m_1 + m_2}{m_1}.$$

Отсюда находим

$$x_2 = \frac{m_1 + m_2}{m_1}\,x_1.$$

Подставив численные значения масс и удлинения, получим, что $x_2 = 11$ см.

Ответ: $x_2 = 11$ см.

Творческая мастерская

Экспериментируйте. В кабинете физики имеются наборы грузов массой по 100 г и пружины. Закрепите пружины на дощечки. Получившийся прибор проградуируйте, подвешивая к пружине грузы по 100 г, 200 г, 300 г и т. д. К корпусу дощечки приклейте лист белой бумаги и нанесите на него отметки: 0 Н, 1 Н, 2 Н и т. д. Разделив расстояние между отметками 0 и 1, 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4 на десять равных частей, получают деления, соответствующие 0,1 Н. Изготовьте таким образом самодельный динамометр и сравните его со школьным.

Объясните. Каков принцип действия динамометра?

Анализируйте. Изобразите графически зависимость силы упругости, возникающей в пружине жесткостью 40 Н/м, от величины абсолютной деформации.

Исследуйте. Результаты эксперимента по определению зависимости длины резинового жгута от модуля приложенной к нему растягивающей силы представлены в таблице 1. Какова жесткость жгута на линейном участке по результатам эксперимента?

Таблица 1

$l$, м	0,8	0,9	1,0	1,1	1,15
$F$, Н	0	1	2	3	4

Решите.

1. Используя график (см. рис. 18.7), определите жесткость пружины. Ответ: 500 Н/м.

Рис. 18.7

2. Под действием какой силы пружина, имеющая жесткость 1 кН/м, сжалась на 4 см? Ответ: 40 Н.
3. Найдите жесткость пружины, которая под действием силы 3 Н удлинилась на 6 см? Ответ: 50 Н/м.
4. Какова жесткость пружины, если груз массой 10 кг растягивает пружину на 10 см? Ответ: 1 кН/м.
5. Груз какой массы нужно подвесить к пружине жесткостью 1,2 кН/м, чтобы растянуть ее на 2 см? Ответ: 2,4 кг.
6. Груз массой 3 кг растягивает пружину на 4 см. Каким должен быть груз, который растянет пружину еще на 8 см? Ответ: 9 кг.
7. При помощи пружинного динамометра равномерно поднимают груз массой $m = 2$ кг. Определите модуль удлинения пружины динамометра, если ее жесткость $k = 1000$ Н/м. Ответ: 2 см.
8. Пружина жесткостью 300 Н/м растянулась на 50 мм. Какова масса груза, способного производить данную деформацию? Ответ: 1,5 кг.
9. Если к пружине подвесить груз массой 3 кг, то пружина удлиняется на 1,5 см. Каким станет удлинение пружины, если к ней довесить груз массой 4 кг? Ответ: 3,5 см.
10. Если к пружине подвесить груз массой 20 кг, то длина пружины будет 12 см, а если подвесить груз $m = 50$ кг, то длина составит 15 см. Какова первоначальная длина пружины? Ответ: 10 см.