Линзы, оптическая сила линзы, формула тонкой линзы. Получение изображения в линзах

Ключевые слова: линза, собирающая и рассеивающая линза, фокус линзы, формула тонкой линзы.

На этом уроке вы:

• научитесь применять формулу тонкой линзы для решения задач;
• строить ход лучей в тонкой линзе и характеризовать полученные изображения.

Это вы знаете. Явление преломления используется во многих оптических приборах: телескопах, микроскопах, фотоаппаратах, проекционной аппаратуре, биноклях, очках (рис. 40.1). Во всех этих приборах есть общая деталь. Назовите ее.

Рис. 40.1

Во многих оптических приборах применяют линзы — прозрачные тела, ограниченные двумя сферическими поверхностями. Линзы делятся на собирающие и рассеивающие. Первые собирают проходящий сквозь них свет в одну точку, а вторые рассеивают его. У собирающих линз середина толще, чем края, а у рассеивающих, наоборот, середина тоньше краев.

Основные понятия и характеристики линзы. Рассмотрим линзу, изображенную на рисунке 40.2. Здесь точки $O_1$ и $O_2$ — центры кривизны сферических поверхностей, образовавших линзу; $R_1$ и $R_2$ — радиусы кривизны сферических поверхностей. Прямая, проходящая через центры кривизны сферических поверхностей, образовавших линзу, называется главной оптической осью линзы. Точка $O$, расположенная внутри линзы на главной оптической оси линзы, в которой лучи не преломляются, называется оптическим центром линзы. Прямая линия $KL$, проходящая через оптический центр, но не через центры кривизны, называется побочной осью. Точки $A$ и $B$ пересечения главной оптической оси с поверхностями линз называются вершинами линзы. Расстояние $AB$ между вершинами линзы называется толщиной линзы. Если толщина линзы соизмерима с радиусом кривизны сферических поверхностей, образовавших линзу, то линза называется толстой, если же она намного меньше его, то линза называется тонкой. Мы будем рассматривать тонкую линзу.

Рис. 40.2

По форме поверхностей, образующих линзу, линзы делятся на выпуклые (плосковыпуклые, двояковыпуклые и вогнуто-выпуклые) и на вогнутые (плосковогнутые, двояковогнутые и выпукло-вогнутые) (рис. 40.3).

Рис. 40.3. Виды линз: 1 — двояковыпуклая, 2 — плосковыпуклая, 3 — вогнуто-выпуклая, 4 — двояковогнутая, 5 — плосковогнутая, 6 — выпукло-вогнутая

Если направить на собирающую линзу пучок лучей, параллельных главной оптической оси, то они соберутся в одной точке — главном фокусе $F$ линзы (рис. 40.4). Эта точка находится на главной оптической оси линзы. У линзы два главных фокуса, расположенных по обе стороны линзы. Если же на линзу направить пучок лучей, идущих параллельно побочной оси (рис. 40.5), то они тоже соберутся в одной точке — побочном фокусе $F_1$, который расположен в фокальной плоскости $AB$ линзы. Фокальной плоскостью линзы называется плоскость, проведенная через главный фокус перпендикулярно главной оптической оси линзы. Понятно, что фокальных плоскостей у линзы две ($AB$ и $CD$), а побочных фокусов — бесконечное число. Фокусы собирающей линзы называются действительными, т. к. в них на самом деле собираются лучи, преломленные в линзе.

Фокусы рассеивающей линзы называются мнимыми, т. к. в них собираются продолжения лучей, преломленных в линзе (рис. 40.6).

Рис. 40.4

Рис. 40.5

Рис. 40.6

На практике в основном используются тонкие линзы. Для удобства при построении изображений в линзах были введены особые обозначения — значки (рис. 40.7).

Разберемся, как свет преломляется в линзе. Любую линзу можно представить как набор призм (рис. 40.8, а). Падающий на призму свет, как показано на рисунке 40.8, б, преломляется в ней (луч 1) и распространяется параллельно ее основанию. Попадая на вторую грань призмы, луч света преломляется второй раз и возвращается в первую среду, отклоняясь к основанию призмы. Луч 2, преломляясь в другой части линзы, выходит из нее и также отклоняется к основанию призмы. Луч 3 проходит через призму, не преломляясь, параллельно основанию. В результате преломления все лучи пересекаются в одной точке на главной оптической оси, которую называют фокусом линзы (рис. 40.8, в).

Рис. 40.7. Условные обозначения собирающей и рассеивающей линз

Рис. 40.8. Линза как набор призм

Построение изображения в линзах. Для построения изображения в линзах пользуются тремя замечательными лучами:

1. Луч 1, идущий параллельно главной оптической оси, после преломления проходит через фокус линзы (рис. 40.9, а). Для рассеивающей линзы этот луч после преломления направлен так, что его продолжение как бы выходит из мнимого фокуса линзы (рис. 40.9, б).
2. Луч 2, идущий через оптический центр линзы, не испытывает преломления.
3. Луч 3, идущий через главный фокус линзы, после преломления в линзе идет параллельно главной оптической оси (рис. 40.9, а). Для рассеивающей линзы луч, идущий в направлении мнимого фокуса, находящегося по ее другую сторону, после преломления идет параллельно главной оптической оси (рис. 40.9, б).

Рис. 40.9

Собирающая линза может давать и действительное, и мнимое изображения предмета. Напомним, что действительное изображение получается только тогда, когда пересекаются сами лучи, а мнимое — когда пересекаются не сами лучи, а их продолжения.

Формула тонкой линзы. Выведем формулу тонкой линзы. Для этого построим изображение светящейся точки $S$. Воспользуемся побочной оптической осью $OB$. Проведем падающий луч $SA$ параллельно побочной оптической оси $OB$. После преломления он пройдет через побочный фокус $B$, который находится в фокальной плоскости $BF$, и пересечется с главной оптической осью в точке $S_1$. Луч $SS_1$ пройдет через оптический центр линзы $O$, не преломляясь, и пересечется с лучом $AB$ в точке $S_1$, которая и будет изображением светящейся точки $S$ (рис. 40.10).

Обозначим расстояние от предмета (светящейся точки) до оптического центра линзы $SO$ символом $d$, расстояние от оптического центра линзы до изображения предмета $OS_1$ символом $f$, фокусное расстояние линзы $OF$ символом $F$ и произведем следующие расчеты. Треугольники $SAS_1$ и $OBS_1$ подобны по третьему признаку подобия треугольников. В подобных треугольниках соответствующие стороны и отрезки сторон пропорциональны, следовательно, $\dfrac{SS_1}{OS_1} = \dfrac{OS}{OF}$, или с учетом введенных обозначений $\dfrac{d + f}{f} = \dfrac{d}{F}$. Преобразуем эту формулу: $\dfrac{d}{f} + 1 = \dfrac{d}{F}$. Теперь, разделив левую и правую части формулы на $d$, получим:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f}. \qquad (40.1)$$

Эта формула называется формулой тонкой линзы.

Рис. 40.10

Вывести формулу тонкой линзы можно и другим способом. Предложите свои способы вывода формулы тонкой линзы, аргументируя свои действия.

Рассмотрим особенности применения формулы тонкой линзы. В зависимости от того, где расположен предмет, какое изображение дает линза (мнимое или действительное), какая это линза, мы можем получить следующие формы записи этой формулы и следующие виды изображений.

Таблица 40.1

Положение предмета	Формула	Изображение
$d > 2F$	$\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}$	действительное, уменьшенное, перевернутое
$F < d < 2F$	$\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}$	действительное, увеличенное, перевернутое
$d = 2F$	$\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}$	действительное, равное, перевернутое
$d < F$	$\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{f}$	мнимое, увеличенное, прямое
Рассеивающая линза	$-\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} - \dfrac{1}{f}$	всегда мнимое, уменьшенное, прямое

1. Линза собирающая дает действительное изображение. Тогда $d > 0$ (положительно), $f > 0$ (положительно) и $F > 0$ (положительно).
2. Линза собирающая, но дает мнимое изображение. Тогда $d > 0$ (положительно), $f < 0$ (отрицательно) и $F > 0$ (положительно).
3. Линза рассеивающая. Она всегда дает мнимое изображение. Тогда $d > 0$ (положительно), $f < 0$ (отрицательно) и $F < 0$ (отрицательно).

Оптическая сила линзы. Для того чтобы показать, как сильно «ломает» лучи линза, была введена особая физическая величина — оптическая сила линзы $D$. Под оптической силой линзы понимают величину, обратную главному фокусному расстоянию. Следовательно, физический смысл оптической силы линзы состоит в том, что она характеризует степень преломления световых лучей после прохождения через линзу:

$$D = \frac{1}{F}. \qquad (40.2)$$

Оптическая сила линзы измеряется в диоптриях: $1\ \text{дптр} = \left[\dfrac{1}{\text{м}}\right]$.

Увеличение линзы. Линза может давать как увеличенное, так и уменьшенное изображение предмета. Под линейным увеличением линзы понимают физическую величину, определяемую отношением линейного размера изображения к линейному размеру предмета, т. е.:

$$\Gamma = \frac{H}{h}. \qquad (40.3)$$

1. Воспользуйтесь рисунком 40.9, а, чтобы доказать формулу (40.3).
2. Используя рисунок 40.11 и признак подобия треугольников, докажите, что $\dfrac{H}{h} = \dfrac{f}{d}$.

Рис. 40.11

Если построить изображение предмета в рассеивающей линзе, то можно увидеть, что она всегда дает уменьшенное мнимое, не перевернутое изображение. А собирающая линза в зависимости от того, где находится предмет, может давать как действительное и мнимое изображения, так и увеличенное и уменьшенное изображения.

Пример решения задачи

На рисунке 40.12, а дан ход луча $SA$ после его преломления в рассеивающей линзе. Найдите построением положение главных фокусов линзы. Покажите дальнейший ход луча $CD$.

Рис. 40.12

Решение. Проведем побочную ось $OO'$ (рис. 40.12, б), параллельную лучу $SA$. Эта ось пересекается с продолжением преломленного луча $AB$ в точке $K$, лежащей в фокальной плоскости $LM$. Главным фокусом рассеивающей линзы будет точка пересечения фокальной плоскости с главной оптической осью линзы.

Для того чтобы найти дальнейший ход луча $CD$, проведем прямую $OO'$ (рис. 40.12, в), проходящую через оптический центр линзы параллельно лучу $CD$. Точка пересечения этой прямой, которая является побочной осью линзы, с фокальной плоскостью $LM$ будет побочным фокусом линзы $N$. Проведя прямую через точки $N$ и $D$, получим дальнейший ход луча $CD$ после преломления в линзе. Это будет прямая $DE$.

Вопросы

1. Что вы понимаете под линзой? Какие виды линз вы знаете?
2. Чем отличается рассеивающая линза от собирающей?
3. Как определить положение оптического центра линзы?
4. Как построением определить положение главного фокуса линзы?
5. Как определить, какая ось является главной оптической осью линзы, а какая — побочной?
6. Как опытным путем определить положение фокуса у собирающей линзы; рассеивающей линзы?
7. Рассудите двух спорящих учеников. Первый утверждает, что у собирающей линзы все фокусы мнимые, а у рассеивающей — действительные. Второй утверждает, что мнимых фокусов не бывает. Кто же из них прав? Дайте верный ответ.
8. Какая плоскость называется фокальной плоскостью?
9. Как, зная положение побочного фокуса, определить нахождение главного фокуса линзы?
10. Какое изображение называется действительным, а какое — мнимым?
11. Что называют оптической силой линзы?
12. Постройте изображение предмета, находящегося: а) на двойном фокусе линзы; б) между линзой и ее главным фокусом. Дайте характеристику получившихся изображений.
13. Что означает фраза: «Увеличение линзы равно 0,25»?
14. Получится ли полное изображение предмета в линзе, если половину линзы закрыть непрозрачной ширмой?

Упражнение 24

1. Когда с помощью собирающей линзы получают мнимое изображение предмета? Ответ поясните построением хода световых лучей в линзе. (Ответ: когда предмет находится между фокусом и линзой)
2. В каком случае высота изображения, полученного с помощью собирающей линзы, равна высоте предмета? Ответ поясните построением хода световых лучей в линзе. (Ответ: когда тело находится на расстоянии $2F$ от линзы)
3. Даны главная оптическая ось линзы $MN$, предмет $AB$ и его изображение $A_1B_1$ (рис. 40.13 и рис. 40.14). Определите центр линзы и ее фокусное расстояние.
4. Даны главная оптическая ось линзы и ход одного из лучей (рис. 40.15). Определите положение фокуса линзы.
5. На рисунке 40.16 дан луч, прошедший сквозь линзу с фокусным расстоянием $F$. Постройте ход луча до линзы.
6. Постройте изображение данного предмета (рис. 40.17, а, б) в линзе. Охарактеризуйте это изображение.
7. На расстоянии 40 см от тонкой собирающей линзы с оптической силой 5 дптр находится светящаяся точка. Каково расстояние между точкой и ее изображением на экране? (Ответ: 80 см)
8. На каком расстоянии от линзы с фокусным расстоянием 40 см находится светящаяся точка, если ее изображение находится в 60 см от линзы? (Ответ: 120 см)
9. Расстояния от предмета до линзы и от линзы до изображения одинаковы и равны 0,5 м. Во сколько раз увеличится изображение, если предмет сместить на расстояние 20 см по направлению к линзе? Определите фокусное расстояние линзы. (Ответ: $\Gamma = 1{,}25$; $F = 25$ см)

Рис. 40.13, 40.14, 40.15 и 40.16

Рис. 40.17