Закон Ома для участка цепи. Электрическое сопротивление проводника. Удельное сопротивление вещества. Реостат и потенциометр

Ключевые слова: закон Ома, сопротивление, удельное сопротивление, реостат, потенциометр.

На этом уроке вы научитесь:

• применять закон Ома для участка цепи при решении задач, объяснять физический смысл сопротивления;
• применять формулу сопротивления проводника при решении задач.

Эксперименты Ома. История открытия закона Ома достаточно любопытна. В 1826 г. Георг Симон Ом, будучи учителем физики и математики в школе, сделал открытие, которое помогло лучше понять природу электрического тока. Он обнаружил зависимость напряжения от силы тока. Данный физический закон был назван законом Ома в честь своего первооткрывателя. В то время многие ученые пытались разгадать природу электричества. Многие сведения о нем уже были открыты и известны, но далеко не все. В 1821 г. Дэви установил, что металлы можно расположить в ряд по возрастающей проводимости: железо, платина, олово, цинк, золото, медь, серебро. Он же доказал, что проводимость пропорциональна площади поперечного сечения проволоки и обратно пропорциональна ее длине. Так как в то время еще не был изобретен амперметр, то Ом для определения силы тока воспользовался методом французского физика Ш. О. Кулона (крутильные весы), но несколько изменил его. Над проволокой с током он помещал магнитную стрелку, подвешенную на нити. При закручивании сила упругости нити удерживала стрелку в равновесии, а углом кручения измерялась сила тока. Так как сила тока пропорциональна магнитной силе, в ходе многочисленных экспериментов Ом установил, что:

1. сила тока постоянна в различных участках цепи;
2. сила тока в проводнике прямо пропорциональна напряжению на нем;
3. сила тока убывает с увеличением длины провода и с уменьшением площади его поперечного сечения.

Георг Симон Ом (1789—1854).

Сопротивление проводника. Свободные заряженные частицы, двигаясь в проводнике под действием электрического поля упорядоченно, взаимодействуют с ионами данного проводника. При этом замедляется скорость их упорядоченного движения, что приводит к уменьшению силы тока. Свойство проводников препятствовать прохождению электрического тока назвали электрическим сопротивлением. Разные проводники по-разному препятствуют прохождению тока, т. е. они обладают разным сопротивлением.

Физическая величина, характеризующая способность проводника препятствовать прохождению тока, называется электрическим сопротивлением. Обозначается электрическое сопротивление символом $R$.

Именно Г. С. Ом предложил ввести в физику эту новую физическую величину $R$ — сопротивление проводника. И совершенно ясно, что чем больше проводимость проводника, тем меньше его сопротивление. Величину сопротивления проводника цилиндрической формы рассчитывают по формуле:

$$R = \rho\,\frac{l}{S}. \qquad (25.1)$$

Здесь коэффициент пропорциональности $\rho$ определяется внутренней структурой материала проводника. Этот коэффициент называется удельным сопротивлением вещества.

Удельное сопротивление — это физическая величина, определяемая сопротивлением проводника единичной длины и единичного сечения.

У каждого вещества свое значение удельного сопротивления, и оно заносится в специальные таблицы.

Единицей измерения сопротивления в системе СИ является Ом. Так ее назвали в честь Г. С. Ома.

Сопротивление проводника равно 1 Ом, если при напряжении на его концах в 1 В по нему идет ток с силой 1 А.

Единица измерения удельного сопротивления в СИ будет $[\rho] = [\text{Ом} \cdot \text{м}]$. При решении задач часто используют внесистемную единицу удельного сопротивления $[\rho] = \left[\dfrac{\text{Ом} \cdot \text{мм}^2}{\text{м}}\right]$.

Измеряют сопротивление с помощью омметра.

Из металлов лучшие проводники тока серебро и медь, т. к. у них наименьшее удельное сопротивление. Во многих случаях в электроприборах нужны вещества с большим удельным сопротивлением. К ним относятся различные сплавы, например нихром, никелин, константан. Существуют вещества с огромным удельным сопротивлением, например, эбонит, фарфор, керамика. Эти вещества называются диэлектриками и используются в качестве изоляторов.

Как показали опыты, сопротивление проводников зависит от температуры, а именно с повышением температуры сопротивление проводников повышается.

Опираясь на внутреннее строение вещества, объясните, почему с ростом температуры сопротивление проводника возрастает?

Закон Ома для участка цепи. Эксперименты, проведенные Омом, привели его к открытию закона, которому подчиняется ток, протекая по проводнику:

Сила тока на участке цепи прямо пропорциональна напряжению на концах этого участка и обратно пропорциональна его сопротивлению.

$$I = \frac{U}{R}. \qquad (25.2)$$

Почему в начале XIX в. трудно было установить закономерности протекания тока по проводнику? Какими приборами можно воспользоваться в настоящее время для того, чтобы установить эти закономерности?

Доказать, что сопротивление проводника зависит от его длины и от площади поперечного сечения, можно, проведя опыт (рис. 25.1).

Рис. 25.1

Сначала в цепь источника по очереди включаем проволоки из никелина, нихрома одинакового сечения, длины которых увеличиваем в 1,5, 2, 3 и 4 раза.

Затем в цепь источника по очереди включаем проволоки из никелина, нихрома одинаковой длины, сечение которых отличается в 2, 3 и 4 раза.

Каждый раз при расчете сопротивления проводников используем формулу: $R = \dfrac{U}{I}$.

Результаты экспериментов подтверждают формулу (25.1).

График зависимости силы тока от напряжения называют вольт-амперной характеристикой. Для проводника она выглядит так, как изображено на рисунке 25.2.

Рис. 25.2

Реостат и потенциометр. Часто в электрической цепи необходимо изменять силу тока. Например, в электрической цепи электронагревателя (чтобы изменить его накал), громкоговорителя (чтобы менять громкость звука) и т. д.

Силу электрического тока можно регулировать с помощью специальных приборов — реостатов. Конструкции реостатов чрезвычайно разнообразны. Различают:

1. ползунковый реостат (рис. 25.3, б, в);
2. рычажный реостат (рис. 25.3, а);
3. штепсельный реостат или магазин сопротивлений (рис. 25.3, г).

Рис. 25.3

В школе чаще всего используют ползунковый реостат, изображенный на рисунке 25.3, б. На керамический каркас наматывается проволока с большим удельным сопротивлением. Покрыта проволока тонким слоем не проводящего ток вещества. Над обмоткой расположен металлический стержень 3, по которому перемещается ползунок 4. Своими контактами он прижат к виткам проволоки. От трения ползунка о витки слой изоляционной пленки стирается и электрический ток проходит от витков проволоки к ползунку, а через него по стержню к потребителю. У реостата есть несколько клемм 1, 2, 5 (рис. 25.3, б). Если провода присоединить к клеммам 1 и 2, то ток, пройдя по виткам реостата, через ползунок 4 и клемму 2 выйдет в цепь. На схеме это выглядит так, как указано в нижнем углу рисунка 25.3, б. На схеме реостат имеет условное обозначение, как указано на рисунке 25.4.

Рис. 25.4

Перемещая ползунок влево, уменьшаем сопротивление реостата, что приводит к увеличению силы тока в цепи.

Реостат можно использовать и в другом качестве — в качестве делителя напряжения. В этом случае у реостата задействовано три клеммы 1, 2, 5. Ток входит через клемму 1, а выходит через клеммы 5 и 2. На схеме это выглядит так, как на рисунке 25.3, б в левом верхнем углу. На клеммы 1 и 5 подается полное напряжение $U$, а с клемм 2 и 1 снимают его часть $U_1$ (рис. 25.5). Из закона Ома для участка цепи следует, что напряжение прямо пропорционально сопротивлению проводника $U = IR$, а сопротивление проводника прямо пропорционально длине проводника. Значит, напряжение на всем реостате между клеммами 1 и 5 равно $U_{вход} = IR$, а на участке реостата между ползунком 2 и клеммой 1 напряжение равно $U_{вых} = IR_1$. Тогда

$$\frac{U_{вых}}{U_{вх}} = \frac{R_1}{R}. \qquad (25.3)$$

Рис. 25.5

Используя делитель напряжения, можно ли лампочку, рассчитанную на напряжение 12 В, включать в цепь напряжением 120 В (рис. 25.5, верхний правый край)?

Вопросы

1. С какими трудностями столкнулись ученые при изучении установления законов протекания тока по проводнику в начале XIX в.?
2. Обозначьте три величины, которые связывает закон Ома.
3. Каков физический смысл сопротивления проводника?
4. Каким образом можно изменить сопротивление проводника?
5. Что такое удельное сопротивление проводника, и для чего был введен этот термин?
6. Как выглядит график зависимости силы тока в проводнике от напряжения на нем, и почему именно так?
7. Как выглядит график зависимости силы тока в проводнике от его сопротивления?
8. У какого проводника сопротивление самое большое (рис. 25.6)?
9. Чем реостат отличается от делителя напряжения?
10. Объясните, почему делитель напряжения делит напряжение.
11. Каким образом надо соединить между собой бытовые электрические приборы в квартире, если они рассчитаны на одинаковое напряжение?
12. Как включить в электрическую цепь с большим напряжением лампочки, рассчитанные на гораздо меньшее напряжение?

Рис. 25.6

Примеры решения задач

Задача 1. Определите площадь сечения и длину проводника из алюминия, если сопротивление алюминия составляет 0,1 Ом, а масса — 54 г.

Дано: $m = 54$ г ($0{,}054$ кг); $R = 0{,}1$ Ом; $\rho_э = 2{,}9 \cdot 10^{-8}$ Ом·м; $\rho_0 = 2{,}7 \cdot 10^3$ кг/м³. Найти: $S$ — ? $l$ — ?

Решение. Сопротивление проводника найдем по формуле:

$$R = \frac{\rho_э l}{S}, \qquad (1)$$

где $\rho_э$ — удельное сопротивление, $l$ — длина проводника, $S$ — площадь поперечного сечения.

Массу проводника можно найти так:

$$m = \rho_0 V = \rho_0 S l, \qquad (2)$$

где $\rho_0$ — плотность алюминия. Отсюда, умножив первое уравнение на второе, получим:

$$Rm = \rho_0 \rho_э l^2, \qquad l = \sqrt{\frac{Rm}{\rho_0 \rho_э}};$$ $$l = \sqrt{\frac{0{,}1\ \text{Ом} \cdot 0{,}054\ \text{кг}}{2{,}7 \cdot 10^3\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 2{,}9 \cdot 10^{-8}\ \text{Ом} \cdot \text{м}}} = \sqrt{69\ \text{м}^2} = 8{,}3\ \text{м}.$$

Разделив первое уравнение на второе, получим: $\dfrac{R}{m} = \dfrac{\rho_э}{\rho_0 S^2}$.

Отсюда $S = \sqrt{\dfrac{\rho_э m}{\rho_0 R}} = 2{,}4$ мм².

$$S = \sqrt{\frac{2{,}9 \cdot 10^{-8}\ \text{Ом} \cdot \text{м} \cdot 54 \cdot 10^{-3}\ \text{кг}}{2{,}7 \cdot 10^3\ \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0{,}1\ \text{Ом}}} = \sqrt{5{,}8 \cdot 10^{-12}\ \text{м}^4} \approx 2{,}4 \cdot 10^{-6}\ \text{м}^2 = 2{,}4\ \text{мм}^2.$$

Ответ: $l \approx 8{,}3$ м; $S = 2{,}4$ мм².

Задача 2. Сколько времени длится работа стартера автомобиля, если при силе тока 250 А по нему протекает 2000 Кл электричества?

Дано: $q = 2000$ Кл; $I = 250$ А. Найти: $t$ — ?

Решение. Т. к. $I = \dfrac{q}{t}$, то $t = \dfrac{q}{I}$,

$$t = \frac{2000\ \text{Кл}}{250\ \text{А}} = 8\ \text{с}.$$

Ответ: 8 с.

Задача 3. Через проводник длиной 11 м и сечением 0,1 мм², находящийся под напряжением 220 В, протекает ток силой 4 А. Из какого материала изготовлен проводник?

Дано: $l = 11$ м; $S = 0{,}1$ мм² ($1 \cdot 10^{-7}$ м²); $U = 220$ В; $I = 4$ А. Найти: $\rho_э$ — ?

Решение. $R = \dfrac{\rho_э l}{S}$. Из закона Ома для участка цепи следует, что $R = \dfrac{U}{I}$.

Тогда $\rho_э = \dfrac{R \cdot S}{l} = \dfrac{U \cdot S}{I \cdot l}$,

$$\rho_э = \frac{220\ \text{В} \cdot 1 \cdot 10^{-7}\ \text{м}^2}{4\ \text{А} \cdot 11\ \text{м}} \approx 50 \cdot 10^{-8}\ \text{Ом} \cdot \text{м}.$$

По таблице «Удельное сопротивление материалов» находим, что это константан.

Ответ: константан.

Задача 4. Линия электропередач имеет длину 200 км. Для ее изготовления использовали стальной провод сечением 120 мм². Сила тока в линии 150 мА. Каково падение напряжения в линии?

Дано: $l = 200$ км ($2 \cdot 10^5$ м); $S = 120$ мм² ($120 \cdot 10^{-6}$ м²); $I = 150$ мА ($150 \cdot 10^{-3}$ А); $\rho_э = 12 \cdot 10^{-8}$ Ом·м. Найти: $U$ — ?

Решение. Из закона Ома для участка цепи следует, что $U = I \cdot R$, где $R = \dfrac{\rho_э l}{S}$. Тогда $U = I \cdot \dfrac{\rho_э l}{S}$.

$$U = \frac{150 \cdot 10^{-3}\ \text{А} \cdot 12 \cdot 10^{-8}\ \text{Ом} \cdot \text{м} \cdot 2 \cdot 10^5\ \text{м}}{120 \cdot 10^{-6}\ \text{м}^2} = 30\ \text{В}.$$

Ответ: 30 В.

Задача 5. а) Как изменится напряжение на зажимах лампы, изображенной на рисунке 25.7, если ползунок реостата передвинуть в крайнее правое положение? б) В какую сторону нужно передвинуть ползунок реостата, установленный посередине, для того, чтобы показания амперметров увеличились? в) Одинаковыми ли будут показания амперметров в цепи при различных положениях ползунка реостата? г) Как изменится напряжение на зажимах лампы при крайнем левом положении ползунка, если последовательно с реостатом включить еще один реостат?

Рис. 25.7

Решение. а) Реостат в данной схеме работает как делитель напряжения, а лампа присоединена параллельно к правой части реостата, и поэтому напряжение на ней будет таким же, как на правой части реостата. Если же ползунок реостата передвинуть в крайнее правое положение, то сопротивление этой части реостата будет равно нулю, следовательно, напряжение на лампе (его покажет вольтметр, подключенный параллельно к ней) будет равно нулю (напряжение на участке цепи прямо пропорционально сопротивлению участка).

б) Если ползунок реостата передвинуть влево, то сопротивление части реостата, к которой присоединена лампа, возрастет. Тогда ток от точки 1 доходит до точки 2, где находится ползунок и разветвляется. Теперь он будет протекать и через реостат, и через лампу по пути 2, 3. А так как сила тока тем больше, чем меньше сопротивление, то при перемещении ползунка влево сопротивление части реостата 1—2, через которую ток идет к лампе, уменьшается и ток, текущий через лампу, будет возрастать. Следовательно, возрастут и показания амперметров.

в) Показания амперметра $A_2$ все время меньше показаний амперметра $A_1$, так как амперметр $A_1$ показывает силу тока в неразветвленной части цепи, а она равна сумме токов, текущих в разветвленных частях цепи.

г) Увеличится (подумайте, почему?).

Упражнение 16

1. Как изменится сопротивление стальной проволоки, если от нее отрезать $\dfrac{1}{4}$ часть? (Ответ: уменьшится в 1,33 раза)
2. Один ученик утверждал, что если сопротивление амперметра сделать большим, чем сопротивление цепи, то прибор все равно будет правильно измерять силу тока. Другой ученик говорил, что показания амперметра правильны только в том случае, когда его сопротивление мало по сравнению с сопротивлением цепи. Кто из учеников прав?
3. Найдите падение напряжения на участке телеграфной линии длиной 1 км и сечением 0,5 мм², если по ней идет ток 8 мА. Провода выполнены из стали ($\rho_{стали} = 12 \cdot 10^{-8}$ Ом·м). (Ответ: 1,92 В)
4. В электронагревателе никелиновую проволоку заменили нихромовой проволокой такой же длины, и при этом сопротивление проволоки увеличилось в 2 раза. Какая проволока толще? Во сколько раз отличаются диаметры проволок? (Ответ: нихромовая, в 1,14 раза)
5. Электрическая лампочка, рассчитанная на напряжение 12 В и силу тока 0,3 А, подключена к источнику медным проводом длиной 30 см и сечением 0,34 мм². Начертите схему подключения лампочки к источнику. Каковы сопротивления лампочки и проволоки? При какой длине провода его сопротивление стало бы равно сопротивлению лампы? (Ответ: $R_{пр} = 1{,}5$ мОм; $R_л = 40$ Ом; 800 м)
6. На реостат, полное сопротивление которого равно 84 Ом, включенный в цепь как делитель напряжения, подано напряжение 24 В (рис. 25.7). Каким будет выходное напряжение (напряжение на лампочке), если сопротивление части реостата между точками 1 и 2 равно $R_1 = 28$ Ом? (Ответ: 16 В)