Последовательное и параллельное соединение проводников

Ключевые слова: последовательное и параллельное соединение проводников.

На этом уроке вы научитесь:

• рассчитывать электрические цепи, используя закон Ома для участка цепи при последовательном и параллельном соединении проводников.

В повседневной жизни мы постоянно используем большое количество потребителей электрической энергии, которые включаются в электрическую цепь по-разному. Так, например, в каждой квартире одновременно могут работать несколько лампочек, электрическая плита, пылесос, телевизор. Разберем несколько возможных соединений потребителей.

Самым простым соединением резисторов является последовательное соединение, при котором через все резисторы проходит одинаковой силы ток. При таком соединении в электрической цепи нет разветвлений. Например, так могут быть соединены две лампочки (рис. 26.1). Электрический заряд под действием электрического поля, созданного источником тока, движется от положительного полюса источника тока по проводам к лампочке Л1, а затем проходит через лампочку Л2, амперметр и возвращается к источнику. Понятно, что величина заряда, проходящего по электрическим проводам в единицу времени, остается неизменной в любой части цепи. Поэтому сила тока при последовательном соединении проводников в них одинаковая:

$$I = I_1 = I_2. \qquad (26.1)$$

Рис. 26.1

Для того чтобы переместить заряд по резистору, электрическое поле должно совершить работу по преодолению сопротивления проводника. Поэтому, чем больше резисторов в цепи, тем большую работу необходимо совершить полю. Понятно, чем больше сопротивление движению заряда, тем большую работу совершает электрическое поле. Значит, полная работа, совершенная полем по перемещению заряда через обе лампочки, равна сумме работ поля в каждой лампочке. А так как напряжение — это работа, совершенная электрическим полем по перемещению единичного заряда, то и общее напряжение на всей цепи равно сумме отдельных напряжений на каждой лампочке, т. е.

$$U = U_1 + U_2. \qquad (26.2)$$

Так как $U = IR$, $IR = IR_1 + IR_2$, получим, что общее сопротивление цепи равно сумме сопротивлений отдельных резисторов.

$$R = R_1 + R_2. \qquad (26.3)$$

Внесем наши выводы в таблицу.

Последовательное соединение
$I = I_1 = I_2$
$U = U_1 + U_2$
$R = R_1 + R_2$
$\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{R_1}{R_2}$

Полученные выводы называются признаками последовательного соединения проводников. Проверить их можно экспериментально, собрав цепь (рис. 26.2), где одинаковые лампочки соединены последовательно.

Примером последовательного соединения может быть елочная гирлянда.

При параллельном соединении на всех резисторах создается одно и то же напряжение. Это легко доказать экспериментально (рис. 26.3).

Рис. 26.2

Рис. 26.3

Показания всех вольтметров одинаковые, т. е. напряжение на всей цепи равно напряжению на отдельных участках:

$$U = U_1 = U_2. \qquad (26.4)$$

Если собрать электрическую цепь по схеме, изображенной на рисунке 26.4, то легко увидеть, что сила тока в неразветвленной цепи равна сумме сил токов в каждой отдельной лампочке, т. е. сила тока в неразветвленной части цепи равна сумме сил токов в отдельных ветках цепи:

$$I = I_1 + I_2. \qquad (26.5)$$

Рис. 26.4

Сравните показания вольтметров (рис. 26.2) и сделайте вывод.

Так как $I = \dfrac{U}{R}$, то формула (26.5) перепишется так:

$$\frac{U}{R} = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2},$$ $$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}. \qquad (26.6)$$

При параллельном соединении проводников величина, обратная общему сопротивлению цепи, равна сумме обратных величин сопротивлений каждого участка цепи.

Примером параллельного соединения могут быть соединения бытовых приборов в квартире.

Внесем наши выводы в таблицу.

Параллельное соединение
$I = I_1 + I_2$
$U = U_1 = U_2$
$\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}$
$\dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{R_2}{R_1}$

Кроме указанных выше соединений существует еще и смешанное соединение (рис. 26.5).

Рис. 26.5

Вопросы

1. В чем состоит отличие между последовательным и параллельным соединениями?
2. Как надо соединить проводники, чтобы их общее сопротивление уменьшилось?
3. Как изменится сопротивление медной проволоки, если сложить ее пополам?
4. В чем недостаток последовательного соединения?
5. Амперметр, которым решили измерить силу тока в лампочке, по ошибке включили параллельно к ней. Что произойдет в цепи?
6. Вольтметр, которым решили измерить напряжение на лампочке, по ошибке включили последовательно с ней. Какие изменения произойдут в цепи?
7. Как используется электрическая энергия?
8. Каким образом можно превратить электроэнергию в другие виды энергии — в механическую, внутреннюю, магнитную, химическую, световую?

Примеры решения задач

Задача 1. Из проволоки сопротивлением 10 Ом сделано кольцо (рис. 26.6). Где следует присоединить провода, подводящие ток, чтобы сопротивление получившейся цепи равнялось 0,9 Ом?

Дано: $R_к = 10$ Ом; $R = 0{,}9$ Ом. Найти: $\dfrac{l_2}{l_1}$ — ?

Решение. Сопротивление ветви $ACB$ обозначим $r_1$, а сопротивление ветви $ADB$ — $r_2$.

Рис. 26.6

Тогда общее сопротивление получившейся цепи (участки $ACB$ и $ADB$ соединены параллельно) равно

$$R = \frac{r_1 r_2}{r_1 + r_2}.$$

Сопротивление кольца равно $R_к = r_1 + r_2$, отсюда $r_2 = R_к - r_1$, тогда получим:

$$R = \frac{r_1 (R_к - r_1)}{r_1 + R_к - r_1}.$$

Освободившись от знаменателя, получим: $R R_к = R_к r_1 - r_1^2$. (1)

Зная из условия задачи, что $R_к = 10$ Ом, а $R = 0{,}9$ Ом, подставим эти численные значения в формулу (1) и получим: $10 \cdot 0{,}9 = 10 r_1 - r_1^2$, $9 = 10 r_1 - r_1^2$.

Запишем данное выражение в виде квадратного уравнения:

$$r_1^2 - 10 r_1 + 9 = 0.$$

Решая это квадратное уравнение $r_1 = 5 \pm \sqrt{25 - 9} = 5 \pm 4$, получим два корня: один — значение сопротивления для более короткого отрезка проводника и он равен $r_1 = 1$ Ом, а другой для более длинной части $r_2 = 9$ Ом. А так как сопротивление проводников прямо пропорционально их длине, то и длины получившихся отрезков относятся как $l_2 : l_1 = 9 : 1$.

Ответ: $\dfrac{l_2}{l_1} = \dfrac{9}{1}$.

Задача 2. Елочная гирлянда спаяна из лампочек для карманного фонаря. При включении этой гирлянды в сеть на каждую из лампочек приходится напряжение 3 В. Почему же опасно производить какие-либо эксперименты с электрическим током (например, сунуть палец в патрон, выкрутив одну из лампочек)?

Решение. Сопротивление лампочки от карманного фонаря мало — несколько Ом. Сопротивление всей гирлянды — несколько десятков Ом. Сопротивление пальца — несколько сотен Ом. При последовательном соединении падение напряжения на участках цепи пропорционально сопротивлениям участков; поэтому на палец, если его сунуть в патрон, придется практически все напряжение цепи.

Задача 3. Вычислите общее сопротивление цепи (рис. 26.7), если $R = 4$ Ом.

Дано: $R = 4$ Ом. Найти: $R_{общ}$ — ?

Решение. Резисторы 1 и 2 соединены параллельно, следовательно, их общее сопротивление можно найти, используя признаки параллельного соединения:

$$\frac{1}{R'} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} \quad \text{или} \quad \frac{1}{R'} = \frac{2}{2R}, \quad \text{т. е.} \quad R' = \frac{2R}{2} = R.$$

Резистор $R'$ и резистор 3 соединены последовательно, тогда их общее сопротивление $R'' = R' + R = R + R = 2R$.

Схема цепи будет выглядеть так (рис. 26.8). Теперь $R''$ и резистор 4 соединены параллельно, т. е.

$$\frac{1}{R'''} = \frac{1}{R''} + \frac{1}{2R} = \frac{1}{2R} + \frac{1}{2R} = \frac{2}{2R} \quad \text{и} \quad R''' = R.$$

Резистор $R'''$ и резистор 5 соединены последовательно, поэтому их общее сопротивление $R^{IV} = R''' + R = R + R = 2R$. Тогда получим новый вид схемы (рис. 26.9).

$R^{IV}$ и резистор 6 соединены параллельно, поэтому

$$R_{общ} = \frac{R^{IV} \cdot 2R}{R^{IV} + 2R} = \frac{2R \cdot 2R}{4R} = R = 4\ \text{Ом}.$$

Ответ: $R_{общ} = 4$ Ом.

Рис. 26.7, рис. 26.8 и рис. 26.9

Задача 4. Лампа, рассчитанная на напряжение 36 В и ток 2 А, включена в сеть напряжением 220 В через реостат, изготовленный из константановой проволоки сечением 1 мм². Каковы сопротивление реостата и длина проволоки, необходимой для его изготовления?

Дано: $U_л = 36$ В; $I_л = 2$ А; $U = 220$ В; $S = 1$ мм² ($1 \cdot 10^{-6}$ м²); $\rho_э = 50 \cdot 10^{-8}$ Ом·м. Найти: $R$ — ? $l$ — ?

Решение. Нарисуем схему включения лампы (рис. 26.10). Найдем падение напряжения на реостате $U_р = U - U_л$.

При последовательном соединении сила тока в лампе и реостате одинакова, т. е. $I_р = I_л$.

Тогда сопротивление реостата найдем, используя закон Ома для участка цепи:

$$R = \frac{U_р}{I_р} = \frac{U - U_л}{I_л} = \frac{(220 - 36)\ \text{В}}{2\ \text{А}} = 92\ \text{Ом}.$$

Т. к. $R = \dfrac{\rho_э l}{S}$, то длина проволоки равна: $l = \dfrac{RS}{\rho_э}$.

$$l = \frac{92\ \text{Ом} \cdot 1 \cdot 10^{-6}\ \text{м}^2}{50 \cdot 10^{-8}\ \text{Ом} \cdot \text{м}} = 184\ \text{м}.$$

Ответ: $R = 92$ Ом; $l = 184$ м.

Рис. 26.10

Упражнение 17

1. Цепь состоит из двух последовательно соединенных резисторов сопротивлениями 4 Ом и 12 Ом. Сила тока в первом резисторе равна 1,2 А. Каково напряжение на каждом резисторе и общее напряжение? (Ответ: 4,8 В; 14,4 В; 19,2 В)
2. Какие сопротивления можно получить, имея три резистора по 12 Ом? (Ответ: $R$ = 36 Ом, 18 Ом, 8 Ом, 4 Ом)
3. Каково общее сопротивление цепи (рис. 26.11), если $R_1 = R_2 = 4$ Ом, $R_3 = 6$ Ом, $R_4 = 12$ Ом? (Ответ: $R = 4{,}8$ Ом)
4. Определите общее сопротивление цепи и общее напряжение цепи (рис. 26.12), если ток в $R_1$ равен 1 А. (Ответ: 12 Ом; 24 В)

Рис. 26.11 и рис. 26.12

5. Рассчитайте общее сопротивление каждого соединения (рис. 26.13), если $R_1 = R_2 = 4$ Ом, $R_3 = R_4 = R_5 = 8$ Ом, $R_6 = 15$ Ом. (Ответ: а) 16 Ом; б) 1,6 Ом; в) 25,7 Ом)

Рис. 26.13