Работа и мощность электрического тока. Тепловое действие электрического тока. КПД. Закон Джоуля–Ленца

Ключевые слова: работа и мощность тока, коэффициент полезного действия (КПД), тепловое действие тока, закон Джоуля — Ленца.

На этом уроке вы научитесь:

• применять формулы мощности и работы тока в решении задач;
• применять закон Джоуля — Ленца при решении задач.

Это вы знаете. Вам уже известны действия тока. Вспомните, за счет чего происходит нагревание воды в электрокипятильнике? За счет чего светится электрическая лампочка? Каким образом управляют процессами автоматической сборки автомобилей? Почему для того, чтобы двигался троллейбус, его необходимо подключать к электропроводам?

Работа тока. Электрическая энергия легко преобразуется в другие виды энергии: механическую, химическую, световую, внутреннюю энергию вещества, что широко применяется в промышленности и в быту. Совершаются такие преобразования за счет работы тока.

Разберемся с понятием работа тока. Электрическое поле, которое перемещает заряды по проводнику, совершает работу. Эту работу называют работой тока. Следовательно, работа электрического тока на участке цепи равна:

$$A = q \cdot U,$$

где $q$ — электрический заряд, проходящий по участку цепи, а $U$ — напряжение на участке.

Учитывая, что $q = I \cdot t$, где $I$ — сила тока в проводнике, а $t$ — время прохождения электрического тока, для работы тока получим:

$$A = IUt. \qquad (27.1)$$

По формуле (27.1) рассчитывают работу тока на потребителях, при чем учитываются все действия тока (магнитное, тепловое и химическое). Используя закон Ома для участка цепи $I = \dfrac{U}{R}$, где $R$ — сопротивление однородного участка цепи, можно получить другую формулу для расчета работы тока:

$$A = \frac{U^2 t}{R}, \qquad (27.2)$$

или

$$A = I^2 R t. \qquad (27.3)$$

Мы знаем, что электрическое поле создается за счет работы сторонних сил внутри источника. Величину работы сторонних сил можно рассчитать по формуле:

$$A_{ст} = q\mathcal{E}. \qquad (27.4)$$

С учетом того, что $q = I \cdot t$, получим, что полную работу тока можно рассчитать по формуле:

$$A = \mathcal{E} I t. \qquad (27.5)$$

Работа, совершаемая сторонними силами, называется полной (или затраченной) работой в электрической цепи. Она учитывает работу электрического поля как на потребителе электрической энергии, так и работу поля по перемещению заряда внутри источника тока.

Единицей измерения работы является джоуль (Дж):

$$[A] = [\text{Дж}], \qquad 1\ \text{Дж} = 1\ \text{Кл} \cdot 1\ \text{В} = 1\ \text{А} \cdot 1\ \text{В} \cdot 1\ \text{с}.$$

Прибор, который измеряет работу тока, называется электрическим счетчиком. Он устанавливается в каждой квартире, на каждом предприятии.

Это вы знаете. Одну и ту же механическую работу можно выполнить за разное время. Вспомните, как называется величина, характеризующая быстроту выполнения механической работы.

Мощность тока. Для электрического тока тоже вводят особую величину — мощность.

Мощность электрического тока — это физическая величина, характеризующая быстроту преобразования электрической энергии в другие виды энергии.

$$P = \frac{A}{t}. \qquad (27.6)$$

Единицей измерения мощности тока является ватт (Вт):

$$[P] = [\text{Вт}] = \left[\frac{\text{Дж}}{\text{с}}\right].$$

Мощность электрического тока на участке цепи с сопротивлением $R$ находят по формуле: $P = \dfrac{UIt}{t} = UI$.

$$P = UI. \qquad (27.7)$$

Аналогично полная мощность, потребляемая электрической цепью, равна:

$$P = \mathcal{E} I. \qquad (27.8)$$

Учитывая, что $U = IR$, а $I = \dfrac{U}{R}$, формулу (27.7), по которой рассчитывают мощность, выделяющуюся на потребителе тока, можно записать иначе:

$$P = I^2 R = \frac{U^2}{R}. \qquad (27.9)$$

В этом случае речь идет о тепловой мощности.

Так как единица измерения мощности тока — ватт, то единицу измерения работы можно представить в виде: $[\text{Дж}] = [\text{Вт} \cdot \text{с}]$.

На практике часто применяют внесистемную единицу работы тока — киловатт-час:

$$1\ \text{кВт} \cdot \text{ч} = 3{,}6 \cdot 10^6\ \text{Дж} = 3{,}6\ \text{МДж}.$$

Для измерения мощности тока существуют специальные приборы — ваттметры.

КПД в электрической цепи. Если в цепь включен электродвигатель, то энергия электрического тока, во-первых, расходуется на совершение механической работы и эта работа будет полезной $A_{полез}$, во-вторых, энергия затрачивается на нагревание обмоток электродвигателя и соединительных проводов и эта энергия будет теряемой. Следовательно, в любой электрической цепи существуют потери энергии. Значит, есть смысл говорить о коэффициенте полезного действия, который можно рассчитать из следующих соображений. Тогда КПД будет равен:

$$\eta = \frac{A_{полез}}{A_{затр}}. \qquad (27.10)$$

Джеймс Прескотт Джоуль (1818—1889).

Говоря о коэффициенте полезного действия источника тока, под полезной работой подразумевают работу, совершаемую во внешней цепи постоянного тока:

$$A_п = IUt = I^2 R t.$$

Затраченная (полная) работа — это работа источника тока, и она равна работе сторонних сил:

$$A_{затр} = A_{стор} = q\mathcal{E} = I\mathcal{E}t.$$ $$\eta = \frac{IUt}{\mathcal{E}It} \cdot 100\% = \frac{U}{\mathcal{E}} \cdot 100\%. \qquad (27.11)$$

Следовательно, КПД источника показывает, какая часть от ЭДС источника выделяется в виде напряжения на потребителе.

Тепловое действие тока. Закон Джоуля — Ленца. Электрический ток, проходя по проводнику, нагревает его. Это можно наблюдать в спиралях электрической лампочки или электроплитки.

Как объяснить, почему нагревается проводник при пропускании через него тока? Какие процессы происходят в проводнике при этом?

В любом проводнике кроме ионов находятся свободные заряженные частицы (электроны или ионы), которые, перемещаясь под действием электрического поля, взаимодействуют с ионами или атомами вещества. При этом они передают им часть своей энергии. В результате работы электрического тока происходит увеличение внутренней энергии проводника, что ведет к повышению его температуры.

Эксперименты, проведенные английским физиком Д. П. Джоулем и русским физиком Э. Х. Ленцем, показали, что в неподвижных металлических проводниках вся работа тока идет на их нагревание, т. е. на увеличение их внутренней энергии. Сам же нагретый проводник отдает приобретенную энергию окружающим телам.

Эмилий Христианович Ленц (1804—1865).

Так как работа электрического тока рассчитывается по формулам $A = IUt$, $A = \dfrac{U^2 t}{R}$ или $A = I^2 R t$, то и количество теплоты, которое выделится в проводнике, находится по этим же формулам:

$$Q = IUt; \quad Q = \frac{U^2 t}{R}; \quad Q = I^2 R t.$$

Закон Джоуля — Ленца: количество теплоты, выделяемое на неподвижном проводнике при прохождении через него тока, равно произведению квадрата силы тока, сопротивлению проводника и времени прохождения тока:

$$Q = I^2 R t. \qquad (27.12)$$

Мы знаем, что за счет работы сторонних сил на клеммах источника появляется разность потенциалов. Если к клеммам источника подключить электрическую лампочку, то электрическое поле, перемещая заряд по спирали лампочки и внутри источника, совершает работу. Согласно закону сохранения энергии:

$$A_{стор} = A_{ламп} + A_{внутр}.$$

С учетом того, что $A_{стор} = \mathcal{E} I t$, а $A_{лампа} = I^2 R t$, $A_{внутр} = I^2 r t$, то $\mathcal{E} I t = I^2 R t + I^2 r t$. Отсюда:

$$I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}. \qquad (27.13)$$

Выражение (27.13) представляет собой математическую запись закона Ома для полной (замкнутой) цепи.

Сила тока в замкнутой цепи прямо пропорциональна ЭДС источника тока и обратно пропорциональна полному сопротивлению цепи, равному сумме сопротивления внешней цепи и внутреннего сопротивления источника.

Из закона Ома для полной цепи следует:

$$\mathcal{E} = U_{внеш} + U_{внутр}. \qquad (27.14)$$

Вопросы

1. По каким формулам рассчитывают работу электрического тока?
2. В чем состоит отличие полезной работы тока от полной?
3. Какую внесистемную единицу работы вы знаете? Каков ее физический смысл?
4. Что понимают под мощностью тока?
5. Мощность электронагревателя равна 900 Вт? Что это означает?
6. За месяц работы показания электросчетчика изменились на 120 кВт·час. Расшифруйте запись.
7. Почему при прохождении тока по проводнику происходит его нагревание?
8. Почему провода, по которым электрическая энергия подводится к утюгу, нагреваются намного меньше, чем спираль утюга?
9. О чем говорит закон Джоуля — Ленца?
10. Можно ли, используя закон Джоуля — Ленца, рассчитать химическое действие тока? Ответ поясните.
11. Накал электрической лампочки уменьшился. Изменилась ли мощность, потребляемая лампочкой?
12. Тамбур вагона освещается пятью лампочками, включенными параллельно. Как изменится расход электроэнергии, если уменьшить число ламп до четырех? Каким будет ответ, если лампочки будут соединены последовательно? Ответ обоснуйте.

Примеры решения задач

Задача 1. Какой длины надо взять нихромовый проводник сечением 0,1 мм², чтобы изготовить нагреватель, на котором можно за 5 мин довести до кипения 1,5 л воды, взятой при 20 °C? Напряжение в сети 220 В, КПД кипятильника 90%.

Дано: $S = 0{,}1$ мм² ($0{,}1 \cdot 10^{-6}$ м²); $\tau = 5$ мин (300 с); $V = 1{,}5$ л ($1{,}5 \cdot 10^{-3}$ м³); $t_1 = 20$ °C; $t_2 = 100$ °C; $U = 220$ В; $\eta = 90\%$ (0,9); $c = 4{,}2 \cdot 10^3$ Дж/(кг·°C); $\rho = 10^3$ кг/м³; $\rho_0 = 1{,}1 \cdot 10^{-6}$ Ом·м. Найти: $l$ — ?

Решение. КПД нагревателя находится по формуле $\eta = \dfrac{A_п}{A_з}$. Нагреватель нужен для того, чтобы нагреть до температуры кипения воду. Значит, полезное действие — это сообщение воде количества теплоты, необходимого для доведения ее до кипения. Оно находится по формуле:

$$A_п = Q_1 = cm(t_2 - t_1),$$

где $m = \rho \cdot V = 1{,}5$ кг.

Электрический ток, проходя по спирали нагревателя, совершает работу, которую можно найти по формуле: $A_з = Q_2 = \dfrac{U^2}{R}\tau$. Тогда формула КПД примет вид:

$$\eta = \frac{cm(t_2 - t_1)R}{U^2 \tau}. \qquad (1)$$

Сопротивление нагревателя найдем как сопротивление любого проводника: $R = \dfrac{\rho_0 l}{S}$, отсюда длина нихромового проводника будет равна:

$$l = \frac{RS}{\rho_0}. \qquad (2)$$

Из формулы (1) найдем сопротивление:

$$R = \frac{\eta U^2 \tau}{cm(t_2 - t_1)}.$$

Подставим это значение в формулу (2):

$$l = \frac{\eta \tau U^2 S}{cm(t_2 - t_1)\rho_0}.$$

Произведем вычисления:

$$l = \frac{0{,}9 \cdot 300\ \text{с} \cdot (220\ \text{В})^2 \cdot 0{,}1 \cdot 10^{-6}\ \text{м}^2}{4{,}2 \cdot 10^3\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot °\text{C}} \cdot 1{,}5\ \text{кг} \cdot (100 - 20)\ °\text{C} \cdot 1{,}1 \cdot 10^{-6}\ \text{Ом} \cdot \text{м}} \approx 2{,}36\ \text{м}.$$

Ответ: $l \approx 2{,}36$ м.

Упражнение 18

1. При напряжении 220 В в электрической лампе за 5 мин израсходовано 12 кДж энергии. Какова сила тока в лампе? (Ответ: 30 мА)
2. Два троллейбуса с одинаковыми электродвигателями движутся с разными скоростями. Какой из них потребляет большую мощность — тот, который движется быстрее, или тот, который движется медленнее? Считайте, что сопротивление движению в обоих случаях одинаково.
3. Электрическая плитка при силе тока 6 А за 8 мин работы потребляет 2,2 МДж энергии. Каково сопротивление спирали плитки? (Ответ: 127 Ом)
4. При ремонте электроплитки длину ее спирали укоротили на 10% от начальной длины. Во сколько раз изменится потребляемая плиткой мощность при включении ее в ту же цепь? (Ответ: увеличится в 1,1 раза)
5. В утюге, рассчитанном на напряжение 220 В, имеются две обмотки с одинаковым сопротивлением $R = 80{,}7$ Ом. С помощью переключателя в сеть можно включать: а) одну обмотку; б) две обмотки, соединенные последовательно; в) две обмотки, но соединенные параллельно. Рассчитайте мощность утюга в каждом случае. (Ответ: 600 Вт; 300 Вт; 1200 Вт)
6. Электродвигатель подъемного крана подключен к источнику тока напряжением 380 В, при этом сила тока в его обмотке 20 А. Определите КПД крана, если груз массой 1000 кг он поднял на высоту 20 м за 1 мин. (Ответ: 44 %)