Условия плавания тел

На этом уроке вы:

• узнаете об условии плавания тел;
• усвоите, на чем основано плавание судов, воздухоплавание;
• научитесь определять архимедову силу при решении задач.

Ключевые слова: взвешенное состояние, осадка, ватерлиния, подъемная сила.

В предыдущем параграфе вы узнали, что на любое тело, погруженное в жидкость, действует сила Архимеда. Но кроме этой силы на тело действует и сила тяжести. Сила Архимеда направлена вверх и зависит от плотности жидкости, в которую помещено тело, и от объема части тела, находящейся в жидкости. Сила тяжести направлена вниз и зависит от массы тела.

Наблюдая за телами, погруженными в жидкость, мы обнаруживаем, что некоторые из них тонут в жидкости, а другие плавают в ней, либо полностью погрузившись в нее, либо частично. Почему?

Понятно, что поведение тела будет зависеть от соотношения силы тяжести и архимедовой силы.

На рисунке 31.1 изображен мяч, плавающий на поверхности воды. Мяч находится в равновесии (он покоится), значит:

$$F_A = mg. \qquad (31.1)$$

На рисунке 31.2 изображена подводная лодка, находящаяся в покое внутри воды. Про такие тела говорят, что они находятся во взвешенном состоянии. И в этом случае сила тяжести тела равна силе Архимеда, т. е. $F_A = mg$.

Рис. 31.1

Рис. 31.2

Рассмотрим формулу (31.1) более подробно. Так как сила Архимеда равна: $F_A = \rho_ж g V_ж$, а массу тела можно найти через плотность $m = \rho V$, то формула (31.1) запишется так:

$$\rho_ж g V_ж = \rho g V.$$

Отсюда следует:

$$\frac{\rho}{\rho_ж} = \frac{V_ж}{V}. \qquad (31.2)$$

Так как при плавании объем жидкости, вытесненный телом $V_ж$, всегда меньше или равен объему самого тела $V$, то плотность плавающего тела должна быть меньше или, в крайнем случае, равна плотности жидкости, в которой плавает тело, т. е. $\rho_ж \geqslant \rho$. Отсюда можно сделать выводы (табл. 1).

Таблица 1. Условия плавания тел

№	Соотношение плотностей	Соотношение сил	Состояние тела
1	$\rho < \rho_ж$	$F_A > mg$	Тело плавает на поверхности жидкости.
2	$\rho = \rho_ж$	$F_A = mg$	Тело плавает внутри жидкости.
3	$\rho > \rho_ж$	$F_A < mg$	Тело тонет.

$\rho$ — плотность тела; $\rho_ж$ — плотность жидкости; $F_A$ — архимедова сила; $mg$ — сила тяжести.

Как же в океанах и морях плавают корабли, корпуса которых изготовлены из стали?

Внутренняя часть судов представляет собой большое число отсеков, разделенных открытыми перегородками. Суда конструируют так, чтобы их средняя плотность всегда была меньше плотности воды.

Если вычислить среднюю плотность корабля, разделив массу на весь его объем, то получим значение, значительно меньшее плотности воды. Соответственно, судно плавает в воде, если действующая на него сила тяжести (или вес судна с грузом в воздухе) равна весу воды, вытесненной подводной частью судна (рис. 31.3).

Рис. 31.3

Глубина, на которую судно погружается в воду, называется осадкой. Наибольшая допускаемая осадка судна отмечается линией, называемой ватерлинией. Она показывает предельный уровень, до которого может погрузиться судно в воду при его загрузке. Ватерлиния отмечена на корпусе корабля красным цветом.

Особый вид морского судна представляет собой подводная лодка (см. рис. 31.2). Она устроена так, что ее среднюю плотность можно изменять, заполняя специальные балластные отсеки водой или воздухом. В первом случае ее средняя плотность увеличится, что приведет к погружению судна. Во время всплытия подводной лодки мощные насосы нагнетают воздух в отсеки с водой и вытесняют ее. Тогда средняя плотность лодки уменьшается (рис. 31.4).

Рис. 31.4

Воздухоплавание. Воздухоплавание тоже основано на законах Архимеда и Паскаля.

С помощью воздушных шаров осуществляют подъем грузов, людей, оборудования. Для того чтобы понять, какой груз может поднять данный шар, необходимо знать его подъемную силу.

Вес груза, который может поднять воздушный шар, называют его подъемной силой.

Величину подъемной силы находят как разность между силой Архимеда, действующей на шар, и силой тяжести оболочки шара и газа, заполняющего шар:

$$F_п = F_A - (m_о + m_{газ})\,g. \qquad (31.3)$$

Воздушные шары, поднимающиеся на небольшую высоту, называются аэростатами, а на высоту более 11 км — стратостатами. Аэростаты и стратостаты используются для исследования атмосферы (рис. 31.5).

Рис. 31.5. Аэростаты, стратостаты, дирижабли

Летательные аппараты, которыми можно управлять с помощью двигателей и пропеллеров, называются дирижаблями. Дирижабли были созданы в начале XX в. Они имеют удлиненную обтекаемую форму, для того чтобы уменьшить сопротивление воздуха при их движении.

Это интересно. Запуск первого воздушного шара был произведен летом 1783 г. во Франции. Это сделали бумажные фабриканты братья Жозеф и Этьен Монгольфье, которые изготовили большой бумажный шар и заполнили его горячим воздухом. Горячий воздух имеет меньшую плотность, чем окружающий его холодный, и поэтому шар поднимается. Этот шар поднялся на высоту 500 м и находился в полете 10 мин, пролетев при этом 2 км. Такие шары с того времени стали называться монгольфьерами.

1 декабря 1783 г. на своем «шарльере» поднялся в воздух Жак Александр Сезар Шарль. Он вместо нагретого воздуха применил водород, плотность которого примерно в 14 раз меньше плотности атмосферного воздуха. Позднее воздушные шары стали наполнять светильным газом.

Для наблюдения солнечного затмения в 1887 г. на воздушном шаре, наполненном гелием, полет совершил Д. И. Менделеев.

Современные воздушные шары наполняют гелием.

Для измерения плотности жидкостей используют прибор, который называется «ареометром». Ареометр состоит из стеклянной трубки, на дно которой помещена металлическая дробь. Сверху трубка переходит в тонкий трубчатый стержень с градуированной шкалой плотности. В таком виде ареометр может плавать в жидкости в вертикальном положении.

Когда ареометр опускают в жидкость, плотность которой надо измерить, его стеклянная колбочка погружается на определенную глубину до тех пор, пока архимедова сила не уравновесит силу тяжести.

Вопросы

1. Сформулируйте условия плавания тел.
2. Чему равна выталкивающая сила, действующая на плавающие внутри жидкости тела?
3. На чем основано плавание судов?
4. Какая сила называется подъемной?
5. Какая линия называется ватерлинией?
6. Какое состояние называется взвешенным состоянием?

Примеры решения задач

Задача 1. Один и тот же деревянный брусок плавает по очереди в трех сосудах, в которых налита ртуть, вода и керосин. Сравните архимедовы силы, действующие на брусок в этих трех случаях.

Дано: $\rho_{рт}$, $\rho_в$, $\rho_к$. Найти: $F_{A1}$ — ? $F_{A2}$ — ? $F_{A3}$ — ?

Решение. Брусок плавает, следовательно, находится в равновесии. Это возможно только тогда, когда сила Архимеда равна силе тяжести. Но брусок один, значит, на него действует одна и та же сила тяжести. Тогда и сила Архимеда во всех случаях одинаковая: $F_{A1} = F_{A2} = F_{A3} = mg$.

Единственное отличие будет в разной глубине погружения бруска в различных жидкостях.

Предлагаем вам самостоятельно определить, в какую жидкость брусок погрузится глубже всего.

Задача 2. Льдинка с замороженной в ней пробкой плавает в стакане с водой при температуре 0 °C. Как изменится уровень воды в стакане, если лед растает, а температура останется прежней? Каков будет ответ, если вместо пробки внутри льда будет дробинка?

Дано: $\rho_т$ — плотность тела; $\rho_в$ — плотность воды. Найти: $(V_л + V_0)$ — ?

Решение. Пусть $m$ — масса льда, а $m_0$ — масса тела, замороженного во льду. Тогда объем воды, который будет вытеснен ими, будет равен:

$$V = \frac{m + m_0}{\rho},$$

где $\rho$ — плотность воды. Когда лед растает, он займет объем $V_л = \dfrac{m}{\rho}$.

Если плотность тела, замороженного во льду, меньше или равна плотности воды, то тело плавает в воде и вытесненный объем воды будет равен: $V_0 = \dfrac{m_0}{\rho}$. Очевидно, что в этом случае:

$$V = V_л + V_0 = \frac{m}{\rho} + \frac{m_0}{\rho} = \frac{m + m_0}{\rho},$$

Уровень воды в стакане не изменится, так как не изменится объем, вытесненный льдом с замороженным в нем телом.

Значит, если кусок льда сплошной, или в него заморожено тело с плотностью вещества меньшей, чем плотность воды, или во льду есть пузырек воздуха, то после того, как лед растает, уровень воды в стакане не изменится.

Если плотность тела $\rho_т$ больше плотности воды, то тело, после того как лед растает, тонет, вытесняя объем, равный собственному объему: $V_0 = \dfrac{m_0}{\rho_т}$. В этом случае: $V_л + V_0 < V$, так как: $\dfrac{m}{\rho} + \dfrac{m_0}{\rho_т} < \dfrac{m + m_0}{\rho}$.

Значит, во втором случае (внутри льда — дробинка) уровень воды в стакане понизится.

Ответ: если во льду заморожена пробка, то после таяния льда уровень воды в стакане не изменится, а если заморожена дробинка, то уровень воды понизится.

Задача 3. Плоская льдина высотой $h$ плавает в озере. Каковы высоты надводной и подводной части льдины?

Дано: $\rho_л = 0{,}9$ г/см³; $\rho_в = 1$ г/см³; $h$ — высота льдины. Найти: $h_1$ — ? $h_2$ — ?

Решение. Если лед плавает, то сила Архимеда равна силе тяжести, действующей на льдину, то есть:

$$\rho_в g V_2 = mg. \qquad (1)$$

Пусть $h_1$ и $h_2$, а $V_1$ и $V_2$ — высоты и объемы надводной и подводной части льдины соответственно. Рассмотрим на рисунке 31.6 силы, действующие на льдину.

Рис. 31.6

Из данного рисунка видно, что:

$$h_1 + h_2 = h \qquad (2)$$

и

$$V_1 + V_2 = V. \qquad (3)$$

Массу льдины выразим через плотность льда и его объем:

$$m = \rho_{лед} V. \qquad (4)$$

Подставив (4) в (1), получим:

$$\rho_в g V_2 = \rho_л g V. \qquad (5)$$

Если $V_2 = h_2 S$, а $V = hS$, то (5) перепишется так: $\rho_в g h_2 S = \rho_л g h S$. Отсюда высота подводной части равна:

$$h_2 = \frac{\rho_л}{\rho_в} \cdot h. \qquad (6)$$

Из (2) имеем $h_1 = h - h_2$, т. е.:

$$h_1 = h - \frac{\rho_л}{\rho_в} \cdot h = \frac{\rho_в - \rho_л}{\rho_в} \cdot h. \qquad (7)$$

Подставив в формулы (6) и (7) численные значения плотностей льда и воды, получим:

$$h_2 = \frac{9}{10}\,h \quad \text{и} \quad h_1 = \frac{1}{10}\,h. \qquad (8)$$

В данной задаче мы имели дело с плоской льдиной, но можно убедиться, что формулы (8) справедливы и для сплошного куска льда произвольной формы.

Ответ: $h_1 = \dfrac{1}{10}\,h$; $h_2 = \dfrac{9}{10}\,h$.

Задача 4. Рассчитайте массу груза, которую можно поднять с помощью воздушного шара объемом 120 м³, заполненного гелием, если масса оболочки 21,2 кг.

Дано: $V = 120$ м³; $m_0 = 21{,}2$ кг. Найти: $m$ — ?

Решение. Подъемная сила равна разности между архимедовой силой, действующей на шар, и силой тяжести оболочки шара и газа, заполняющего шар: $F_п = F_A - (m_о + m_г)g$. Масса гелия в оболочке равна: $m_г = \rho_г V$.

Тогда сила тяжести, действующая на гелий и оболочку, будет равна: $F = (\rho_г V + m_о)g$. Если архимедова сила $F_A = \rho_в g V$, то $F_п = \rho_в g V - (\rho_г V + m_о)g$. Так как плотность воздуха $\rho_в = 1{,}29\ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$, гелия $\rho_г = 0{,}19\ \dfrac{\text{кг}}{\text{м}^3}$, рассчитаем величину подъемной силы шара:

$$F_п = 1{,}29\ \tfrac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9{,}8\ \tfrac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 120\ \text{м}^3 - \left(0{,}19\ \tfrac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 120\ \text{м}^3 + 21{,}2\ \text{кг}\right) \cdot 9{,}8\ \tfrac{\text{Н}}{\text{кг}} =$$ $$= 1517\ \text{Н} - 431{,}2\ \text{Н} = 1085{,}8\ \text{Н}.$$

Следовательно, масса груза, который может перенести шар, будет равна:

$$m = \frac{F_п}{g} = \frac{1085{,}8\ \text{Н}}{9{,}8\ \text{Н/кг}} = 110{,}8\ \text{кг}.$$

Ответ: $m = 110{,}8$ кг.

Задача 5. Объем воздушного шарика, заполненного водородом, равен 4 дм³, а его вес 0,04 Н. Определите подъемную силу шарика.

Дано: $V = 4$ дм³ $= 0{,}004$ м³; $P = 0{,}04$ Н. Найти: $F_п$ — ?

Решение. Подъемная сила рассчитывается по формуле:

$$F_п = F_A - P = \rho_в g V - P.$$ $$F_п = 1{,}29\ \tfrac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 9{,}8\ \tfrac{\text{Н}}{\text{кг}} \cdot 0{,}004\ \text{м}^3 - 0{,}04\ \text{Н} = 11\ \text{мН}.$$

Ответ: $F_п = 11$ мН.

Творческая мастерская

Экспериментируйте.

1. Ареометр. Используя пробирку и песок, изготовьте ареометр. Произведите его градуировку в чистой воде. Затем, применяя свой прибор, определите плотность растворов соли и сахара.
2. Картезианский водолаз. Сконструируйте «Картезианский водолаз», пользуясь пластиковой бутылкой или литровой банкой с пластмассовой крышкой. Поплавок изготовьте из обычного прозрачного пузырька, например из-под пенициллина, заполнив его водой более чем на 1/3 объема. В пробке пузырька сделайте шилом отверстие и в него плотно вставьте трубочку длиной 10–15 мм, например от стержня шариковой ручки. После наполнения банки водой опустите в нее поплавок. При нажатии на крышку бутылки или банки поплавок опускается. Проследите за объемом воды в поплавке при его погружении и подъеме. Такая замечательная игрушка «Картезианский водолаз» придумана французским математиком, физиком и философом Рене Декартом.

Анализируйте.

1. Возьмите стеклянную банку, стакан с водой, сырое яйцо и 2–3 столовые ложки соли. Налейте в банку 0,5 л воды и растворите в ней соль. Опустите в воду яйцо. Оно должно плавать у поверхности. Понемногу наливайте обычную воду. Яйцо начнет погружаться и окажется во взвешенном состоянии. Продолжая доливать воду, добейтесь того, чтобы яйцо опустилось на дно. Объясните наблюдаемые явления.
2. Будет ли плавать яйцо, сваренное вкрутую: а) в обычной воде; б) в соленой воде? Проверьте на опыте. Объясните результаты опыта.
3. Посмотрите видео через QR-код. Нам хорошо известно, что пластилиновый шарик массой $m$ тонет в воде, а лодочка, сделанная из этого шарика, не тонет, даже будучи загруженной несколькими шариками. Объясните это явление.

Решите.

1. Детский шарик объемом 3 л наполнен водородом. Масса шарика с водородом 3,4 г. Какова подъемная сила детского шарика? Ответ: 4,7 мН.
2. Груз какой массы может перенести аэростат объемом 3000 м³ на высоту 40 км? Аэростат заполнен гелием, плотность которого 0,18 кг/м³, плотность воздуха на высоте 0,88 кг/м³, масса оболочки аэростата 1 т. Ответ: 1,1 т.
3. Оболочка аэростата, привязанного при помощи стального троса, весит 550 Н и вмещает 350 м³ газа плотностью 0,6 кг/м³. Определите силу, достаточную для удержания аэростата за нижний конец троса, если вес троса равен 750 Н. Ответ: 1,1 кН.
4. Судно, погруженное в пресную воду до ватерлинии, вытесняет воду объемом 15 000 м³. Вес судна с машинами равен 50 МН. Каков вес груза? Ответ: 100 МН.
5. Человек плавает в воде. Как изменится архимедова сила, действующая на человека при вдохе? Ответ: возрастет.

Исследуйте. В стакан с газированной водой бросьте виноградину. Она чуть тяжелее воды и опустится на дно, покрываясь пузырьками газа. Когда их станет довольно много, виноградина всплывет. На поверхности пузырьки лопнут, газ улетучится, а отяжелевшая виноградина снова опустится на дно. Так будет продолжаться до тех пор, пока газировка не «выдохнется». Объясните опыт.

Познай себя. Используя закон Паскаля, объясните, почему зубную пасту легко выдавить из тюбика?